重难点突破之奔驰定理与“四心”问题 学生版-高中数学.pdf

重难点突破之奔驰定理与“四心”问题

【常用结论】

考点一．四心的概念介绍：

(1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．

(2)内心：角平分线的交点(内切圆的圆心)，角平分线上的任意点到角两边的距离相等．

(3)外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等．

(4)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．

考点二．奔驰定理---解决面积比例问题

(1)重心定理：三角形三条中线的交点．

x+x+x13

已知△ABC的顶点A(x，y)，B(x，y)，C(x，y)，则△ABC的重心坐标为G(2，

112233

3

y+y+y

123)．

3

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注意：(1)在△ABC中，若O为重心，则OA+OB+OC=0．

(2)三角形的重心分中线两段线段长度比为2：1，且分的三个三角形面积相等．

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11

重心的向量表示：AG=AB+AC．

33

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奔驰定理：S⋅OA+S⋅OB+S⋅OC=0，则△AOB、△AOC、△BOC的面积之比等于λ:λ:λ

ABC321

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奔驰定理证明：如图，令λOA=OA，λOB=OB，λOC=OC，即满足OA+OB+OC=0

112131111

S△AOB1S△AOC1S△BOC1

=，=，=，故S:S:S=λ:λ:λ．

SλλSλλSλλ△AOB△AOC△BOC321

△AOB1112△AOC1113△BOC1123

1

考点三．三角形四心与推论：

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(1)O是△ABC的重心：S:S:S=1:1:1⇔OA+OB+OC=0．

△BOC△COA△A0B