广西柳州高级中学2024-2025学年高三上学期9月自主综合考试 数学试题（含解析）.docx

高三数学自主测试试题

一、单选题

1．已知全集，集合和的关系的韦恩（Venn）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（）

A．3个 B．2个 C．1个 D．无穷多个

2．已知向量，若，则（）

A． B．0 C．1 D．2

3．已知函数，将的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，若的图象与的图象关于轴对称，则的最小值等于（）

A． B． C． D．

4．将自然数1，2，3，4，5，……，按照如图排列，我们将2，4，7，11，16，……都称为“拐角数”，则下列哪个数不是“拐角数”．（）

A．22 B．50 C．37 D．46

5．已知某学校参加学科节数学竞赛决赛的8人的成绩（单位：分）为：72，78，80，81，83，86，88，90，则这组数据的第75百分位数是（）

A．86 B．87 C．88 D．90

6．已知直线与圆交于不同的两点A，B，O是坐标原点，且有，则实数的取值范围是（）

A． B． C． D．

7．在中，角的对边分别是，且，则的最小值为（）

A．2 B． C．4 D．

8．已知的定义域为R，，且，则（）

A． B． C． D．

二、多选题

9．欧拉公式（i为虚数单位，）是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函与指数函数的关联，被举为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（）

A．的虚部为 B．

C． D．的共轭复数为

10．平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的．已知在平面直角坐标系中，，动点满足，其轨迹为一条连续的封闭曲线，则下列结论正确的是（）

A．曲线与轴的交点为和

B．曲线关于轴、轴对称，不关于原点对称

C．点P的横坐标的范围是

D．的取值范围为

11．如图，正方体的棱长为1，动点在对角线上，过作垂直于的平面，平面与正方体的截面多边形（含三角形）的周长为，面积为，面关于函数和的描述正确的是（）

A．最大值为；

B．在时取得极大值；

C．在上单调递增，在上单调递减；

D．在上单调递增，在上单调递减

三、填空题

12．已知随机变量，若，则的值为______．

13．已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为2，过点的直线交的左支于两点．（为坐标原点），记点到直线的距离为，则______．

14．已知内角的对边分别为为的中点，为的中点，延长交于点，若，则的面积为______．

四、解答题

15．已知数列中，．

（1）求的通项公式：

（2）求和：

16．如图，在四棱柱中，平面，底面为梯形，，为的中点．

（1）在上是否存在点，使直线平面，若存在，请唃定点的位置并给出证明，若不存在，请说明理由；

（2）若（1）中点存在，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．

17．现有枚质地不同的游戏币，向上抛出游戏币后，落下时正面朝上的概率为．甲、乙两人用这枚游戏币玩游戏．

（1）甲将游戏币向上抛出10次，用表示落下时正面朝上的次数，求的期望，并写出当为何值时，最大（直接写出结果，不用写过程）；

（2）甲将游戏币向上抛出，用表示落下时正面朝上游戏币的个数，求的分布列；

（3）将这枚游戏币依次向上抛出，规定若落下时正面朝上的个数为奇数，则甲获胜，否则乙获胜，请判断这个游戏规则是否公平，并说明理由．

18．已知函数．

（1）若，求曲线在处的切线方程；

（2）若时，求的取值范围；

（3）若，证明：当时，．

19．动点到直线与直线的距离之积等于，且．记点的轨迹方程为．

（1）求的方程；

（2）过上的点作圆的切线为切点，求的最小值；

（3）已知点，直线交于点，上是否存在点满足？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

高三数学自主测试参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

答案

B

D

B

B

B

C

B

B

ABD

AC

AD

1．B【详解】由图知，阴影部分所示的集合为，

由，得到，所以，又，

所以，得到阴?部分所示的集合的元素共有2个．

2．【详解】．因为，所以，则，解得．

3．《详解】解：，要的图象与的图象关于轴对称，则，所以，故，又，故．

4．B【详解】由题意得第1个“拐角数”为，第2个“拐角数”为，

第3个“拐角数”为，第4个“拐角数”为，

则第个“拐角数”为．

对于A：第6个“拐角数”是，故A不合题意；

对于B、C：第7个“拐角数”是，第8个“拐角数”是，

则30不是“拐角数”，故B适合题意，C不合题意；

对于D：第9个“拐角数”是，故D不合题意．

5．B【详解】将数据从小到大排序得，因为，

所以第75百分位数是．

6．C【详解】设中点为，则，

，

即，又直线与圆交于不同的两点，

，故，则．

7．B【