二项式定理的推导导学案 高二上学期北师大版（2019）选择性必修第一册.docxVIP

§4二项式定理

4.1二项式定理的推导

【学习目标】

1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理.

2.掌握二项式定理及其二项展开式的通项公式.

3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.

4.通过学习,培养学生数学运算的核心素养.

◆知识点二项式定理及相关概念

1.二项式定理:(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+…+Cnkan-kbk+…+Cnnbn(n∈N*),简写为(a+b)

2.二项展开式:二项式定理等号右边的式子.

3.二项式系数:等号右边各项的系数.?

4.二项式通项:Tk+1=Cnkan-kbk

【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)

(1)(a+b)n的展开式中共有n项. ()

(2)二项式(a+b)n与(b+a)n的展开式的第r+1项一定相同. ()

(3)Cnkan-kbk是(a+b)n的展开式的第k项. (

(4)(a-b)n与(a+b)n的展开式的第k项的二项式系数相同. ()

◆探究点一二项式定理

例1利用二项式定理展开下列各式:

(1)(a+2b)5;

(2)x-

变式利用二项式定理展开x-

[素养小结]

利用二项式定理求展开式时,要注意以下几点:

(1)项数不能少;(2)两项之间是加号;(3)展开后需化简.

◆探究点二二项式定理的逆用

例2(1)1-2Cn1+4Cn2-8Cn3+…+(-2)nCnn等于 (

A.1 B.-1

C.(-1)n D.3n

(2)化简16-32x+24x2-8x3+x4= ()

A.x4 B.(2-x)4

C.(2+x)4 D.(1-2x)4

变式化简(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)的结果为 ()

A.x4-1

B.(x-1)4-1

C.(x+1)4-1

D.x4+1

[素养小结]

二项式定理的逆用是将多项式合并成二项式(a+b)n的形式,即二项式定理从右到左使用.逆用该定理可解决一些化简、求和与证明问题.熟悉公式的特点——项数、各项幂指数的规律以及各项系数的规律,是逆用该定理的关键.

拓展已知Cn0·3n+Cn1·3n-1+Cn2·3n-2+…+Cnn-1

◆探究点三二项式通项

例3在x2

(1)第6项的二项式系数;

(2)第3项的系数;

(3)常数项.

变式(1)x+1x2

(2)若ax-2x6(a为常数)的展开式中的常数项为-160,则a=

A.-1 B.1

C.±1 D.2

[素养小结]

求二项展开式中特定项(或系数)的关键是运用二项式通项,解题过程一般分两步:第一步根据所给出的条件(特定项)和二项式通项,建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件,即n,r均为非负整数,且n≥r,另外需注意常数项的指数为零、有理项的指数为整数等);第二步是根据所求的指数,再代入通项中求对应的项.

拓展已知(x+y)n的展开式的二项式系数和为64,若(2x+3)n=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+an(x+1)n,则a2= ()

A.20 B.30

C.60 D.80

◆探究点四两个二项式乘积、三项式的特定项

例4(1)x2+1x2

A.-252 B.-220

C.220 D.252

(2)(x2+1)(x-1)5的展开式中x5的系数为 ()

A.1 B.-9

C.11 D.21

变式(1)若2-1x2(1+ay)6的展开式中x-2y3的系数为160,则a=

A.2 B.4

C.-2 D.-22

(2)(x+y-2z)6的展开式中xy2z3的系数是.?

[素养小结]

三项式求特定项的常用方法:

(1)因式分解法:通过因式分解将三项式变成两个二项式的乘积,然后用二项式定理分别展开.

(2)逐层展开法:将三项式分成两组,用二项式定理展开,再把其中含两项的一组展开.

(3)利用组合知识:把三项式看成几个一次项的积,利用组合知识分析项的构成,注意最后应把各个同类项合并.

§4二项式定理

4.1二项式定理的推导

【课前预习】

知识点

3.Cnk(k=0,1,2,…,

诊断分析(1)×(2)×(3)×(4)√

【课中探究】

例1解:(1)(a+2b)5=C50a5+C51a4(2b)1+C52a3(2b)2+C53a2(2b)3+C54a(2b)4+C55(2b)5=a5+10a4b+40a3b2+80a

(2)x-2x6展开式的通项为Tr+1=C6rx6-r-2xr=(-2)rC6rx6-3r2,∴其展开式为x6-12x9

变式解:x-1x7=C70x7+C71x6-1x+C72x5-1x2+C73x4-1x3+C74x3-1x4+C75x2-

例