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2010-2023历年河北省唐山市开滦二中高三上学期期中考试理科数学试卷（带解析）

第1卷

一.参考题库(共10题)

1.若，则=（?）

A．

B．

C．

D．

2.已知如图，平行四边形中，，，，正方形所在平面与平面垂直，分别是的中点。

⑴求证：平面；

⑵求平面与平面所成的二面角的正弦值。

3.已知函数,

⑴求证函数在上的单调递增；

⑵函数有三个零点，求的值；

⑶对恒成立，求a的取值范围。

4.设函数.

⑴求函数的单调区间；

⑵求函数的值域；

⑶已知对恒成立，求实数的取值范围.

5.正项等比数列中,，则的值是（??）

A．2

B．5

C．10

D．20

6.已知数列的各项均为正数，其前项和为，且.

⑴求证：数列是等差数列；

⑵设，求证：；

⑶设，，求.

7.由曲线，，直线所围成的区域的面积为___________

8.在中，分别为角所对的边，且，，，求角的正弦值.

9.已知是实数，则“”是“”的（??）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

10.上的偶函数满足,若时，,则=????.

第1卷参考答案

一.参考题库

1.参考答案：A.试题分析：，选A.

考点：三角函数的倍角公式、诱导公式.

2.参考答案：（1）详见解析；（2）.试题分析：（1）证明线面平行，一般可考虑线面平行的判定定理，构造面外线平行于面内线，其手段一般是构造平行四边形，或构造三角形中位线(特别是有中点时)，由此本题即要证明的中点也是的中点，于是只要证明四边形是平行四边形，此较为容易；（2）求二面角一般分为三个步骤：作出二面角的平面角，证明此角是二面角的平面角，利用解三角形知识求出二面角的三角函数值，也可建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量的夹角，根进一步判断二面角的大小.

试题解析：⑴证明;，,且,

四边形是平行四边形，为的中点，又是的中点

,平面平面,

平面??????????????????????4分

⑵（解法1）过点作于，易知为中点，连结.

易知，平面，,

是平面与平面所成的二面角的平面角.?????8分

,

,

即平面与平面所成的二面角的正弦值为.?????????12分

（解法2）以点为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则,???6分

,

设平面的法向量由，得，

令，又平面的法向量为,?????9分

设平面与平面所成的二面角为，则，

即平面与平面所成的二面角的正弦值为.?????????12分

考点：空间中线面的位置关系，二面角.

3.参考答案：?（1）详见解析；（2）；（3）.试题分析：（1）证明函数在某区间单调递增，判断其导函数在此区间上的符号即可；（2）判断函数零点的个数一般可从方程或图象两个角度考察，但当函数较为复杂，难以画出它的图象时，可以将其适当等价转化，变为判断两个函数图象交点个数；（3）恒成立问题则常用分离参数的方法，转化为求函数的最值问题，也可直接考察函数的性质进行解决，本题则可转化为，而求则可利用导数去判断函数的单调性，还要注意分类讨论.

试题解析：⑴证明：，

函数在上单调递增.????????????3分

⑵解：令，解得

极小值1

，函数有三个零点，有三个实根，

.???????????7分

⑶由⑵可知在区间单调递减，在区间单调递增，

，

又，

设，则

在上单调递增，，即，

，

所以，对于，

.???????????12分

考点：函数的单调性、函数的零点、不等式恒成立问题.

4.参考答案：（1）详见解析；（2）；（3）.试题分析：（1）判断函数的单调区间，一般利用其导数的符号判断，使导函数为正的区间是增区间，使函数为负的区间是减区间；（2）函数的值域则可利用（1）中得到的函数的单调性进行求解；（3）恒成立问题则常用分离参数的方法，转化为求函数的最值问题，而求函数的最值则仍可利用导数去判断函数的单调性.

试题解析：⑴，由解得，

由解得，或，

故函数的单调递增区间是，单调递减区间是.

4分

⑵当时，解得，由⑴可知函数在上递增，在上递减，

在区间上，；

在区间上，函数的值域为.???????8分

⑶，两边取自然对数得，

对恒成立，则，

由⑵可知当时，，.??12分

考点：函数与导数、函数的单调性、不等式恒成立.

5.参考答案：D试题分析：根据等比数列的性质有，即，所以，选D.

考点：等比数列的性质、对数的运算性质.

6.参考答案：（1）详见解析；（2）详见解析；（3）试题分析：（1）一般数列问题中出现数列前的和与其项时，则可利用关系找出数列的递推关系，本题可从此入手，证明数列为等差数列；(2)由(1)可求出，根据此式的结构特征，可得，利用裂项相消法求其前的和后再予以判断