【新整理】三角形“四心”向量形式的结论及证明(附练习答案)[1]21.docVIP

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三角形“四心〞向量形式的充要条件应用

在学习了?平面向量?一章的根底内容之后,学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。现归纳总结如下:

知识点总结

1〕O是的重心;

假设O是
的重心,那么
故

;

为的重心.

2〕O是的垂心;

假设O是
(非直角三角形)的垂心,那么

故

3〕O是的外心(或)

假设O是的外心

那么

故

4〕O是内心的充要条件是

引进单位向量,使条件变得更简洁。如果记
的单位向量为
,那么刚刚O是
内心的充要条件可以写成:

O是内心的充要条件也可以是

假设O是
的内心,那么

故;

的内心;

ACBCCP向量所在直线过

A

C

B

C

C

P

范例

(一).将平面向量与三角形内心结合考察

例1．O是平面上的一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足
,
那么P点的轨迹一定通过
的〔〕

〔A〕外心〔B〕内心〔C〕重心〔D〕垂心

解析:因为
是向量
的单位向量设
与
方向上的单位向量分别为
,又
,那么原式可化为
,由菱形的根本性质知AP平分
,那么在

中,AP平分
,那么知选B.

点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生〞,首先
是什么？没见过！想想,一个非零向量除以它的模不就是单位向量？此题所用的都必须是简单的根本知识,如向量的加减法、向量的根本定理、菱形的根本性质、角平分线的性质等,假设十分熟悉,又能迅速地将它们迁移到一起,解这道题一点问题也没有。

(二)将平面向量与三角形垂心结合考察“垂心定理〞

例2.H是△ABC所在平面内任一点,

点H是△ABC的垂心.

由,

同理
,
.故H是△ABC的垂心.〔反之亦然〔证略〕〕

例3.(湖南)P是△ABC所在平面上一点,假设
,那么P是△ABC的〔D〕

A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

解析:由.

即

那么

所以P为
的垂心.应选D.

点评:此题考察平面向量有关运算,及“数量积为零,那么两向量所在直线垂直〞三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零,那么两向量所在直线垂直〞等相关知识巧妙结合。

变式：假设H为△ABC所在平面内一点,且

那么点H是△ABC的垂心

BCH

B

C

H

A

图6

0

即0

同理
,

故H是△ABC的垂心

(三)将平面向量与三角形重心结合考察“重心定理〞

例4.G是△ABC所在平面内一点,
=0
点G是△ABC的重心.

证明作图如右,图中

连结BE和CE,那么CE=GB,BE=GC
BGCE为平行四边形
D是BC的中点,AD为BC边上的中线.

将
代入
=0,

得
=0

,故G是△ABC的重心.〔反之亦然〔证略〕〕

例5.P是△ABC所在平面内任一点.G是△ABC的重心

.

证明

∵G是△ABC的重心

∴
=0

=0,即

由此可得.〔反之亦然〔证略〕〕

例6假设
为
内一点,
,那么
是
的〔????〕

A.内心??????????B.外心???????C.垂心?????????D.重心

解析：由
得
,如图以OB.OC为相邻两边构作平行四边形,那么
,由平行四边形性质知
,
,同理可证其它两边上的这个性质,所以是重心,选D。

点评:此题需要扎实的平面几何知识,平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质:重心是三角形中线的内分点,所分这比为
。此题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质等相关知识巧妙结合。

变式：
分别为
的边
的中点.那么
.

证明：

变式引申:如图4,平行四边形
的中心为
,
为该平面上任意一点,

那么．

证明:
,
,

点评:〔1〕证法运用了向量加法的三角形法那么,

证法2运用了向量加法的平行四边形法那么.〔2〕

假设
与
重合,那么上式变
0．

(四).将平面向量与三角形外心结合考察

例7假设
为
内一点,
,那么
是
的〔????〕

A.内心??????????B.外心???????C.垂心?????????D.重心

解析：由向量模的定义知
到
的三顶点距离相等。故
是
的外心?,选B。

点评:此题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合。

(五)将平面向量与三角形四心结合考察

例8.向量
,
,
满足条件
+
+
=0,|
|=|
|=|
|=1,

求证△P1P2P3是正三角形.〔?数学?第一册〔下〕,复习参考题五B组第6题