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大招圆锥曲线第三定义的应用

椭圆与双曲线除了第一、第二定义外还有根据斜率积进行定义的第三定义．

1．椭圆的第三定义

Ax,yBx,yP(x,y)

已知点00，00是关于原点对称的两个点，如图，且当点不与点

Ax,yBx,yCx,yDx,y2

00，00，00，00重合时，有kke1，0e1，则

PAPB

P(x,y)Ax,yBx,y

点的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，离心率为e，且过点00，00

的椭圆．

证明①当点P(x,y)不与点，，，重合时：

ABCD

Ax,yBx,yP(x,y)

因为点00，00，，

22

yyyy2yy

kk00e1xx02

所以PAPB0，所以22e1，

xxxxxx

000

22222

所以yye1xx．

00

222222

因为0e1，所以1exy1exy，

00

22

xy

1xx

2222220

所以1exy1exy．

0000

1e2

②当点P(x,y)分别与，，，重合时：

ABCD

22

xy

1

22