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数值分析计算方法期末考试复习题库1--第1页

计算方法习题库1

１．求下三角阵的逆矩阵的详细算法。

[解]设下三角矩阵L的逆矩阵为T

我们可以使用待定法，求出矩阵T的各列向量。为此我们将T按列分块如下：

注意到

我们只需运用算法1·1·1，逐一求解方程

便可求得

[注意]考虑到内存空间的节省，我们可以置结果矩阵T的初始状态为单位矩阵。

这样，我们便得到如下具体的算法：

算法（求解下三角矩阵L的逆矩阵T，前代法）

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２．设为两个上三角矩阵，而且线性方程组是非奇异的，

试给出一种运算量为的算法，求解该方程组。

[解]因，故为求解线性方程组，可先求得

上三角矩阵T的逆矩阵，依照上题的思想我们很容易得到计算的算法。

于是对该问题我们有如下解题的步骤：

（1）计算上三角矩阵T的逆矩阵，算法如下：

算法1（求解上三角矩阵的逆矩阵，回代法。该算法的的运算量为）

（2）计算上三角矩阵。运算量大约为.

（3）用回代法求解方程组：.运算量为；

（4）用回代法求解方程组：运算量为。

算法总运算量大约为：

３．证明：如果是一个Gauss变换，则也是一个Gauss

变换。

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[解]按Gauss变换矩阵的定义，易知矩阵是Gauss变换。下面我们只需

证明它是Gauss变换的逆矩阵。事实上

注意到，则显然有从而有

４．确定一个Gauss变换L，使

[解]比较比较向量和可以发现Gauss变换L应具有功能：使向

量的第二行加上第一行的2倍；使向量的第三行加上第一行的2

倍。于是Gauss变换如下

５．证明：如果有三角分解，并且是非奇异的，那么定理1·1·2中的

L和U都是唯一的。

[证明]设，其中都是单位下三角阵，都是上三角

阵。因为A非奇异的，于是

注意到，单位下三角阵的逆仍是单位下三角阵，两个单位下三角阵的乘积仍是单

位下三角阵；上三角阵的逆仍是上三角阵，两个上三角阵的乘积仍是上三角阵。

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因此，上述等将是一个单位下三角阵与一个上三角阵相等，故此，它们都必是单

位矩阵。即，

从而

即A的LU分解是唯一的。

６．设的定义如下

A