江苏省南通市如皋中学2025届高三上学期期初考试数学试题.docx

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江苏省南通市如皋中学2025届高三上学期期初考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（????）

A． B． C．0,1 D．2,3

2．已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（????）

A． B． C． D．

3．顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为（????）

A． B．

C． D．

4．方程的实数解有（????）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

5．已知直线与椭圆相交于两点，椭圆的两个焦点是，，线段的中点为，则的面积为（????）

A． B． C． D．

6．已知圆的方程为，则“”是“函数的图象与圆有四个公共点”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

7．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点是双曲线右支上一点，直线交双曲线的左支于点．若，，，且的外接圆交双曲线的一条渐近线于点，则的值为（????）

A． B． C． D．3

8．F1、F2分别是椭圆的左右焦点，过F2作直线交椭圆于A、B两点，已知AF1⊥BF1，∠ABF1=30°，则椭圆的离心率为

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知曲线，（????）.

A．若，则是椭圆，其焦点在轴上

B．若，则是圆，其半径为

C．若，则是双曲线，其渐近线方程为

D．若，则是两条直线

10．如图，正方体的棱长为4，点是其侧面上的一个动点（含边界），点是线段上的动点，则下列结论正确的是（????）

A．存在点，使得二面角大小为

B．存在点，使得平面与平面平行

C．当为棱的中点且时，则点的轨迹长度为

D．当为的中点时，四棱锥外接球的表面积为

11．已知抛物线上存在一点到其焦点的距离为3，点为直线上一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为为坐标原点．则（????）

A．抛物线的方程为 B．直线一定过抛物线的焦点

C．线段长的最小值为 D．

三、填空题

12．过点的等轴双曲线的方程为.

13．过点的直线l与曲线有且仅有两个不同的交点，则l斜率的取值范围为．

14．已知过点可作三条直线与曲线相切，则实数a的取值范围为．

四、解答题

15．已知函数．

(1)求函数的极值；

(2)求函数在区间上的最小值．

16．设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为.已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为.

（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；

（II）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点.若的面积为，求直线的方程.

17．如图，直三棱柱的体积为1，，，．

(1)求证：；

(2)求二面角的余弦值．

18．设双曲线的方程为，直线过抛物线的焦点和点.已知的焦距为且一条渐近线与平行.

(1)求双曲线的方程；

(2)已知直线过双曲线上的右焦点，若与交于点（其中点在第一象限），与直线交于点，过作平行于的直线分别交直线轴于点，求.

19．已知函数，其中为自然对数的底数．

(1)讨论的单调性；

(2)若方程有两个不同的根．

(i)求的取值范围；

(ii)证明：．

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参考答案：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

A

B

C

C

B

B

D

A

CD

BC

题号

11

答案

ACD

1．A

【分析】图中阴影部分表示的集合为，根据交集、补集的定义计算可得.

【详解】因为，，

所以，

所以，

即图中阴影部分表示的集合为.

故选：A

2．B

【分析】由侧面展开图求得母线长后求得圆锥的高，再由体积公式计算．

【详解】设圆锥母线长为，高为，底面半径为，

则由，得，所以，

所以．

故选：B．

3．C

【分析】由抛物线的标准方程中参数的几何意义即可列式求解.

【详解】设抛物线方程为或，

依题意知，∴.

∴抛物线方程为.

故选：C.

4．C

【分析】由换底公式变形解对数方程即可.

【详解】，所以或，

所以或，

所以方程的实数解有2个.

故选：C.

5．B

【分析】根据线段的中点为，利用点差法求得，再利用三角形面积公式求解．

【详解】设Ax1,y1

则，所以，即，解得，

所以，则，

所以，

故