大招12平均性质.docx

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大招12??平均性质

1.焦点在x轴上的抛物线的平均性质

如图，已知点，在抛物线上，若直线AB与x轴交于点，则（横坐标之积只与m有关）我们将这个结论称为平均性质.

证明依题意设直线AB的方程为（反设法），联立得

所以（消x无需平方，因此消去x），

由韦达定理可得所以.

注：由于抛物线的含x的项为1次，因此可以颠倒x，y，将直线AB的方程设为，这样的设法就称为反设法，同时这种设法设出的方程中包含了斜率不存在的情况，能规避分类讨论.

2.焦点在y轴上的抛物线的平均性质

依葫芦画瓢，已知点，在抛物线上，若直线AB与y轴交于点，则（纵坐标之积只与m有关）

注：通过平均性质我们可以把与的值跟直线AB与坐标轴交点坐标联系起来.

【典例1】已知抛物线与圆，过点F作直线l，自上而下顺次与上述两曲线交于点A，B，C，D，则下列关于的值的说法中，正确的是（????）

A.等于1????????B.等于16??????????????C.最小值为4????D.最大值为4

【大招指引】先将圆的一般方程化为标准方程，得到圆心即为抛物线的焦点，利用抛物线的定义得到，，进而表示，，再利用平均性质进行求解.

【解析】先将圆变形为标准形式，

得其圆心F的坐标是，然后根据题目，作出下图.设点A坐标为，

点D坐标为，由于抛物线的焦点也是点，

于是就有，，因此，，根据平均性质得到.

分析各选项知，答案选A.

【题后反思】解决本题的关键是发现圆心和抛物线的焦点重合，进而可以利用抛物线的定义，用抛物线的点的坐标表示所求.

【温馨提醒】平均性质实质是联立直线和抛物线的方程，通过根与系数的关系得到，直接利用平均性质，可以简化运算过程，提高解题速度，也避免讨论直线的斜率不存在的情况.

【举一反三】

1．已知点F是抛物线的焦点，过点的直线l与曲线E交于点A，B，若的最小值为14，则E的准线方程为（????）

A． B．

C． D．

【典例2】直线与抛物线交于A，B两点，则（O为抛物线顶点）的值为（）

A.????B.????C.4????D.12

【答案】B

【大招指引】先根据直线方程得到直线恒过点，再利用平均性质和平面向量的数量积进行求解.

【解析】因为直线恒过点，由平均性质得，

【题后反思】该题也可以联立直线与抛物线方程求得，进而利用平面向量数量积的坐标表示即可得解.

【温馨提醒】利用平均性质解决问题时，要注意其使用条件是已知点在坐标轴上.

【举一反三】

2．在平面直角坐标系中，过抛物线的焦点的直线与该抛物线的两个交点为，，则（????）

A．抛物线在点处切线方程为

B．若点M坐标为，则

C．

D．若垂直抛物线准线于点N，则三点在一条直线上

3．已知抛物线的焦点为，直线交抛物线于，两点，以线段为直径的圆交轴于，两点，交准线于点，则下面结论正确的是：（????）

A．以为直径的圆与轴相切 B．

C． D．的最小值为

4．已知抛物线，F为抛物线C的焦点，准线与y轴交于M点，过点F作不垂直于y轴的直线l与C交于A，B两点．设P为y轴上一动点，Q为AB的中点，且，则（????）

A．当直线AB的倾斜角为时，

B．当时，直线l的倾斜角为或

C．MF平分

D．

5．若抛物线的焦点为，点在抛物线上，且．

(1)求抛物线的方程；

(2)过点的直线交抛物线于两点，点A关于轴的对称点是，证明：三点共线．

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参考答案：

1．D

【分析】

先判断直线的斜率存在，设直线的方程为，代入抛物线方程化简，根据根与系数的关系及基本不等式即可求得结果.

【详解】当直线斜率存在时，设直线的方程为，

由，得，

，

设，则，且，

当直线的斜率不存在时，则直线为，，

所以

，

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值为，

所以，得，

所以抛物线E的准线方程为，

故选：D

2．AD

【分析】直线的方程与抛物线方程联立，然后表示出，，，即可判断A、B；当直线与轴平行时求出可判断C；直线的方程为，求出与的交点坐标可判断D．

【详解】对于A，由抛物线，得，得，抛物线在点x=1处切线斜率为k=1，

方程为，即，A正确；

对于B，抛物线的焦点为，设直线的方程为，联立，

可得，所以，，

，

则，

即B不正确；

对于C，当直线与轴平行时，或，

故，，故C不正确；

对于D，垂直抛物线准线于点N，即与准线的交点，得，

直线的方程为，与的交点坐标为，

因为，得，即与重合，所以三点在一条直线上，

故D正确.

故选：AD.

【点睛】结论点睛