大招8圆锥曲线第三定义的应用.docx

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大招8??圆锥曲线第三定义的应用

椭圆与双曲线除了第一、第二定义外还有根据斜率积进行定义的第三定义．

1．椭圆的第三定义

已知点，是关于原点对称的两个点，如图，且当点不与点，，，重合时，有，，则点的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，离心率为e，且过点，的椭圆．

证明①当点不与点A，B，C，D重合时：

因为点，，，

所以，所以，

所以．

因为，所以，

所以．

②当点分别与A，B，C，D重合时：

成立．

所以点的轨迹为，是一个椭圆，

且，，，．

综上所述，的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，离心率为e，且过点，的椭圆．

2．双曲线的第三定义

已知点，是关于原点对称的两个点，如图，且当点不与点，，，重合时有，，

则点的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，离心率为e，且过点，的双曲线．

证明①当点不与点A，B，C，D重合时：因为点，，，

所以，所以，所以．

因为，所以，所以．

②当点分别与点A，B，C，D重合时：成立．

所以点的轨迹为，是一个双曲线，

且，，所以，．

综上所述，点的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，离心率为e，且过点，的双曲线．

注：第三定义及对应的结论在小题中可以直接使用，在大题中不能直接使用．

3．统一形式

已知点，是椭圆或双曲线上关于原点对称的两点，是椭圆或双曲线上异于，的一点，且，存在，则（其中，为椭圆或双曲线的离心率）．

4．图形扩展：两种特殊情形

图中，为椭圆的切点，则；

图中，为线段的中点（，分别在双曲线的两条渐近线上），则．

【典例1】已知点M，N是椭圆（）上的两点，且线段MN恰为圆的一条直径，A为椭圆C上与M，N不重合的一点，且直线AM，AN的斜率之积为，则椭圆C的离心率为__________．

【大招指引】利用椭圆的第三定义得到即可求解.

【解析】根据题目条件可知点M，N是椭圆（）上关于原点对称的两点，又由于A为椭圆C上与M，N不重合的一点，且直线AM，AN的斜率之积为，

根据椭圆的第三定义可知．

因为椭圆离心率，所以，因此椭圆C的离心率．

【题后反思】本题也可以采用传统方法进行求解：根据题目条件可知M，N是椭圆（）上关于原点对称的两点，

如图，设，，，

所以，．

两式相减得，即．

因为直线AM，AN的斜率之积为，所以，所以，

所以椭圆的离心率．

【温馨提醒】根据椭圆的第三定义可知，如果关于原点对称的点，在椭圆上，而是椭圆上满足条件的任意一点，则，利用第三定义可以简化过程．

【举一反三】

1．如图，已知椭圆的离心率，，是椭圆的左、右顶点，为椭圆上一点（与，不重合），令，，则．

【典例2】已知双曲线，，是双曲线上关于原点对称的两点，是双曲线上的动点，直线，的斜率分别为，，若的最小值为2，则双曲线的离心率为（????）

A．??????????????B．???????????????C．????D．

【大招指引】先利用双曲线的第三定义得到，再利用基本不等式进行求解.

【解析】由，得，所以，即．故选A．

【题后反思】解决本题的关键是利用双曲线的第三定义得到.

【温馨提醒】根据双曲线的第三定义可知，如果关于原点对称的点，在双曲线（，）上，而是双曲线上满足条件的任意一点，则，利用该定义可以简化运算过程，提高解题速度．

【举一反三】

2．双曲线的左、右顶点分别是，，为上任意一点，若直线，的斜率之积为4，则双曲线的离心率为（????）

A．5 B． C．2 D．

3．如图所示，A1，A2是椭圆C：的短轴端点，点M在椭圆上运动，且点M不与A1，A2重合，点N满足NA1⊥MA1，NA2⊥MA2，则＝

A．2 B．3 C．4 D．

4．已知椭圆，点，是长轴的两个端点，若椭圆上存在点，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是.

5．已知双曲线的左、右顶点分别为，，圆与双曲线在第一象限的交点为，记直线，的斜率分别为，，且，则双曲线的离心率为．

6．已知椭圆：的左焦点为，右顶点为，若椭圆上存在点使得，则椭圆的离心率的取值范围是.

7．已知椭圆，点为椭圆上异于顶点的任意一点，过点作长轴的垂线，垂足为，连接并延长交椭圆于另一点，连接并延长交椭圆于点，若，则椭圆的离心率为．

8．已知椭圆的左、右顶点分别为、，直线过点且与轴垂直，点是椭圆上异于的动点，直线与直线交于点，若，则椭圆的离心率是．

9．双曲线的渐近线方程为；设、分别为的左、右顶点，为上的一点，若，则.

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