大招7圆锥曲线第二定义的应用.docx

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大招7??圆锥曲线第二定义的应用

椭圆与双曲线的定义并不仅仅有第一定义一种形式，类比抛物线的定义中“点到焦点的距离与点到准线的距离相等”，可以衍生出由“点到焦点的距离与点到准线的距离的比例关系”定义椭圆与双曲线的第二定义.

1.椭圆的第二定义

平面内到定点的距离与到定直线（点不在上）的距离之比为常数的点的轨迹是椭圆.

证明因为，所以，

所以，所以，

所以.令，则，

所以点的轨迹是椭圆.

2.双曲线的第二定义

平面内到定点的距离与到定直线（点不在上）的距离之比为常数的点的轨迹是双曲线.

证明因为，所以，

所以，所以，

所以，令，则（，），

所以点的轨迹是双曲线.

【典例1】已知点A（），设点F为椭圆的右焦点，点M为椭圆上一动点，求的最小值，并求此时点M的坐标.

【大招指引】过点A作右准线l的垂线，垂足为N，与椭圆交于点M，则，故的最小值为|AN|的长，从而得出答案.

【解析】如图，过点A作右准线l的垂线，垂足为N，与椭圆交于点M.

∵椭圆的离心率，∴由第二定义得，

的最小值为|AN|的长，且，

的最小值为10，此时点M的坐标为.

【题后反思】解决本题的关键是利用椭圆的第二定义将转化为（是点到右准线的距离）.

【温馨提醒】椭圆第二定义有以下三点需要了解：

①定点为椭圆的焦点，定直线为其对应的准线.

②根据对称性，定点也为椭圆的焦点，定直线为其对应的准线，

如图.

③焦半径公式：，（这样就将焦半径与点P的横坐标联系起来了）.

【举一反三】

1．已知椭圆的一个焦点是,相应于F的准线为y轴,l是过F且倾斜角为60°的直线,l被椭圆截得的弦AB的长是,求椭圆的方程.

【典例2】已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于、两点，若，则的离心率为（）

A.????B.????C.????D.

【大招指引】设双曲线的右准线为，过、分别作于，于，于，根据直线的斜率为，得到，再利用双曲线的第二定义得到，又，结合求解.

【解析】设双曲线的右准线为，

过、分别作于，于，于，

如图所示：

因为直线的斜率为，

所以直线的倾斜角为，

∴，，

由双曲线的第二定义得：，

又∵，∴，∴

故选：B

【题后反思】解决本题的关键是利用双曲线的第二定义将双曲线上的点到准线的距离转化为到焦点的距离，即.

【温馨提醒】双曲线第二定义有以下三点需要了解：

①定点为双曲线的焦点，定直线为其对应的准线.

②根据对称性，定点也为双曲线的焦点，定直线为其对应的准线，如图.

③焦半径公式：当点P在双曲线右支上时，

，.

当点P在双曲线左支上时，，.

【举一反三】

2．已知双曲线和点，F是双曲线的右焦点，P是双曲线上任意一点，求的最小值.

3．椭圆上有个不同的点，，，，椭圆的右焦点为，数列是公差大于的等差数列，则的最大值是（????）

A．2000 B．2001 C．2003 D．2005

4．已知圆锥曲线统一定义为“平面内到定点F的距离与到定直线l的距离（F不在l上）的比值e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线”．过双曲线的左焦点的直线l（斜率为正）交双曲线于A，B两点，满足．设M为AB的中点，则直线OM斜率的最小值是（????）

A． B． C． D．

5．在3世纪，古希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇编》中完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义.他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线；当是地，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线.现有方程表示的曲线是双曲线，则的取值范围为（????）

A． B． C． D．

6．已知双曲线的左、右焦点分别为，为左支上一点，到左准线的距离为，若、、成等比数列，则其离心率的取值范围是（????）

A．， B．， C．， D．，

7．古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明．经过了500年，到了3世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明，他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线；当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线．现有方程表示的曲线是双曲线，则实数的取值可能为（????）

A． B．3 C． D．4

8．人教A版选择性必修第一册在椭圆章节的最后《用信息技术探究点的轨迹：椭圆》中探究得出椭圆（）上动点到左焦点的距离和动点到直线的距离之比是常数.已知椭圆：，为左焦点，直线：与轴相交于点，过的直线与椭圆相交于，两点（点在轴上方），分别过点，向作垂线，垂足为，，则（?