旧教材适用2024高考数学一轮总复习第二章函数与基本初等函数第1讲函数及其表示.docVIP

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第1讲函数及其表示

1．函数与映射的概念

函数

映射

两集合A，B

设A，B是两个eq\o(□,\s\up3(01))非空数集

设A，B是两个eq\o(□,\s\up3(02))非空集合

对应关系f：A→B

依据某种确定的对应关系f，使对于集合A中的eq\o(□,\s\up3(03))随意一个数x，在集合B中都有eq\o(□,\s\up3(04))唯一确定的数f(x)与之对应

按某种确定的对应关系f，使对于集合A中的eq\o(□,\s\up3(05))随意一个元素x，在集合B中都有eq\o(□,\s\up3(06))唯一确定的元素y与之对应

名称

称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数

称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射

记法

y＝f(x)，x∈A

f：A→B

2．函数的定义域、值域

在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的eq\o(□,\s\up3(07))定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的eq\o(□,\s\up3(08))值域．

3．函数的三要素：eq\o(□,\s\up3(09))定义域、eq\o(□,\s\up3(10))对应关系和eq\o(□,\s\up3(11))值域．

4．相等函数：假如两个函数的eq\o(□,\s\up3(12))定义域相同，且eq\o(□,\s\up3(13))对应关系完全一样，则这两个函数相等．这是推断两函数相等的依据．

5．函数的表示法

表示函数的常用方法有：eq\o(□,\s\up3(14))解析法、eq\o(□,\s\up3(15))列表法、eq\o(□,\s\up3(16))图象法．

6．分段函数

若函数在定义域的不同子集上，因eq\o(□,\s\up3(17))对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.

1．函数问题允很多对一，但不允许一对多．与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点．

2．若集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从集合A到集合B的映射共有nm个．

3．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．

1．集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，下列不表示从A到B的函数的是()

A．f：x→y＝eq\f(1,2)xB．f：x→y＝eq\f(1,3)x

C．f：x→y＝eq\f(2,3)xD．f：x→y＝eq\r(x)

答案C

解析依据函数的概念，集合A中任一元素在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，故选项C不符合．

2．函数f(x)＝eq\f(\r(－x2－3x＋4),lg（x＋1）)的定义域为()

A．(－1，0)∪(0，1] B．(－1，1]

C．(－4，－1) D．(－4，0)∪(0，1]

答案A

解析要使函数f(x)有意义，应有

eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2－3x＋4≥0，,x＋10，,x＋1≠1，))解得－1x0或0x≤1，故选A.

3．(2024·陕西省高三教学质量检测(四))已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2（x2＋1），x≤2，,f（x－3），x2，))则f(f(4))＝()

A．1B．2C．3D．4

答案A

解析∵f(4)＝f(4－3)＝f(1)＝log2(12＋1)＝1，∴f(f(4))＝f(1)＝log2(12＋1)＝1，故选A.

4．下列四组函数中，表示相等函数的一组是()

A．y＝x－1与y＝eq\r(（x－1）2)

B．y＝eq\r(x－1)与y＝eq\f(x－1,\r(x－1))

C．y＝4lgx与y＝2lgx2

D．y＝(eq\r(3,x))3与y＝x

答案D

解析A中，y＝x－1与y＝eq\r(（x－1）2)＝|x－1|的解析式不同，两函数不相等；B中，y＝eq\r(x－1)的定义域为[1，＋∞)，y＝eq\f(x－1,\r(x－1))的定义域为(1，＋∞)，定义域不同，两函数不相等；C中，y＝4lgx与y＝2lgx2＝4lg|x|的解析式不同，两函数不相等；D中，y＝(eq\r(3,x))3＝x的定义域为R，y＝x的定义域为R，定义域和解析式都相同，两函数相等，故选D.

5．(2024·内蒙古巴彦淖尔一中月考)函数feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(1,