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数学概述

数学是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科。

数学包含的内容很广泛：一、从广义的角度给数学分类，

按纵向划分：

1、初等数学和古代数学：这是指17世纪以前的数学。主要是古希腊时期建立的欧几里

得几何学，古代中国、古印度和古巴比伦时期建立的算术，欧洲文艺复兴时期发展起来的代

数方程等。

2、变量数学：是指17--19世纪初建立与发展起来的数学。从17世纪上半叶开始的变

量数学时期，可以分为两个阶段：17世纪的创建阶段（英雄时代）与18世纪的发展阶段（创

造时代）。

3、近代数学：是指19世纪的数学。近代数学时期的19世纪是数学的全面发展与成熟

阶段，数学的面貌发生了深刻的变化，数学的绝大部分分支在这一时期都已经形成，整个数

学呈现现出全面繁荣的景象。

4、现代数学：是指20世纪的数学。1900年德国著名数学家希尔伯特（D.Hilbert）

在世界数学家大会上发表了一个著名演讲，提出了23个预测和知道今后数学发展的数学问

题（见下），拉开了20世纪现代数学的序幕。

按横向划分：

1、基础数学（英文：PureMathematics）

基础数学又称为理论数学或纯粹数学，是数学的核心部分，包含代数、几何、分析三大

分支，分别研究数、形和数形关系。

2、应用数学

应用数学，简单地说，也就是数学的应用。

应用数学思考将抽象的数学工具运用在解答科学、工商业及其他领域上之现实问题。应

用数学中的一重要领域为统计学，它利用机率论为其工具并允许对含有机会成分的现象进行

描述、分析与预测。大部份的实验、测量及观察研究需要统计对其资料的分析。(许多的统

计学家并不认为他们是数学家，而比较觉得是合作团体的一份子。)数值分析研究如何有效

地用电脑的方法解决大量因太大而不可能以人类的演算能力算出的数学问题；它亦包含了对

计算中舍入误差或其他来源的误差之研究。

3、计算数学

计算数学研究诸如计算方法（数值分析）、数理逻辑、符号数学、计算复杂性、程序设

计等方面的问题。该学科与计算机密切相关。

4、概率统计

概率统计分概率论与数理统计两大块。

5、运筹学与控制论

运筹学是利用数学方法，在建立模型的基础上，解决有关人力、物资、金钱等的复杂系

统的运行、组织、管理等方面所出现的问题的一门学科。

6、离散数学

离散数学是指对理论计算机科学最有用处的数学领域之总称，包含有可计算理论、计算

复杂性理论及信息论。可计算理论检查电脑的不同理论模型之极限，包含现知最有力的模型

－图灵机。复杂性理论研究可以由电脑做为较易处理的程度；有些问题即使理论是可以以电

脑解出来，但却因为会花费太多的时间或空间而使得其解答仍然不为实际上可行的，尽管电

脑硬件的快速进步。最后，信息论专注在可以储存在特定媒体内的资料总量，且因此有压缩

及熵等概念。

做为一相对较新的领域，离散数学有许多基本的未解问题。其中最有名的为P/NP问题

－千禧年大奖难题之一。一般相信此问题的解答是否定的。

7、模糊数学

现代数学是建立在集合论的基础上。集合论的重要意义就一个侧面看，在与它把数学的

抽象能力延伸到人类认识过程的深处。一组对象确定一组属性，人们可以通过说明属性来说

明概念（内涵），也可以通过指明对象来说明它。符合概念的那些对象的全体叫做这个概念

的外延，外延其实就是集合。从这个意义上讲，集合可以表现概念，而集合论中的关系和运

算又可以表现判断和推理，一切现实的理论系统都一可能纳入集合描述的数学框架。

但是，数学的发展也是阶段性的。经典集合论只能把自己的表现力限制在那些有明确外

延的概念和事物上，它明确地限定：每个集合都必须由明确的元素构成，元素对集合的隶属

关系必须是明确的，决不能模棱两可。对于那些外延不分明的概念和事物，经典集合论是暂

时不去反映的，属于待发展的范畴。

在较长时间里，精确数学及随机数学在描述自然界多种事物的运动规律中，获得显著效

果。但是，在客观世界中还普遍存在着大量的模糊现象。以前人们回避它，但是，由于现代

科技所面对的系统日益复杂，模糊性总是伴随着复杂性出现。

各门学科，尤其是人文、社会学科及其它“软科学”的数学化、定量化趋向把模糊性的

数学处理问题推向中心地位。更