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2022-2023学年广东省佛山一中,石门中学高三下学期4月四校联考数学试题
考生须知:
1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合,,若,则实数的值可以为()
A. B. C. D.
2.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为
A. B. C.2 D.
3.中国古代用算筹来进行记数,算筹的摆放形式有纵横两种形式(如图所示),表示一个多位数时,像阿拉伯记数一样,把各个数位的数码从左到右排列,但各位数码的筹式需要纵横相间,其中个位、百位、方位……用纵式表示,十位、千位、十万位……用横式表示,则56846可用算筹表示为()
A. B. C. D.
4.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,则这个几何体的体积为()
A. B. C. D.
5.已知抛物线:,点为上一点,过点作轴于点,又知点,则的最小值为()
A. B. C.3 D.5
6.设全集,集合,,则()
A. B. C. D.
7.的展开式中,含项的系数为()
A. B. C. D.
8.双曲线C:(,)的离心率是3,焦点到渐近线的距离为,则双曲线C的焦距为()
A.3 B. C.6 D.
9.已知函数,则函数的零点所在区间为()
A. B. C. D.
10.已知,是双曲线的两个焦点,过点且垂直于轴的直线与相交于,两点,若,则△的内切圆的半径为()
A. B. C. D.
11.为了研究国民收入在国民之间的分配,避免贫富过分悬殊,美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线,如图所示.劳伦茨曲线为直线时,表示收入完全平等.劳伦茨曲线为折线时,表示收入完全不平等.记区域为不平等区域,表示其面积,为的面积,将称为基尼系数.
对于下列说法:
①越小,则国民分配越公平;
②设劳伦茨曲线对应的函数为,则对,均有;
③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为,则;
④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为,则.
其中正确的是:
A.①④ B.②③ C.①③④ D.①②④
12.将函数的图象向右平移个周期后,所得图象关于轴对称,则的最小正值是()
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.若、满足约束条件,则的最小值为______.
14.已知为矩形的对角线的交点,现从这5个点中任选3个点,则这3个点不共线的概率为________.
15.某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是3,则正视图的的值__________.
16.(5分)函数的定义域是____________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)我国在贵州省平塘县境内修建的500米口径球面射电望远镜(FAST)是目前世界上最大单口径射电望远镜.使用三年来,已发现132颗优质的脉冲星候选体,其中有93颗已被确认为新发现的脉冲星,脉冲星是上世纪60年代天文学的四大发现之一,脉冲星就是正在快速自转的中子星,每一颗脉冲星每两脉冲间隔时间(脉冲星的自转周期)是-定的,最小小到0.0014秒,最长的也不过11.765735秒.某-天文研究机构观测并统计了93颗已被确认为新发现的脉冲星的自转周期,绘制了如图的频率分布直方图.
(1)在93颗新发现的脉冲星中,自转周期在2至10秒的大约有多少颗?
(2)根据频率分布直方图,求新发现脉冲星自转周期的平均值.
18.(12分)在平面直角坐标系中,直线的的参数方程为(其中为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,点的极坐标为,直线经过点.曲线的极坐标方程为.
(1)求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程;
(2)过点作直线的垂线交曲线于两点(在轴上方),求的值.
19.(12分)在如图所示的四棱锥中,四边形是等腰梯形,,,平面,,.
(1)求证:平面;
(2)已知二面角的余弦值为,求直线与平面所成角的正弦值.
20.(12分)在直角坐标系中,已知圆,以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线平分圆M的周长.
(1)求圆M的半径和圆M的极坐标方程;
(2)过原点作两条互相垂直的直线,其中与圆M交于O,A两点,与圆M交于O,B两点,求面积的最大值.
21.(12分)已知椭圆,上、下顶点分别是、,上、下焦点分别是、,焦距为,点在椭圆上.
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