圆中的重要模型之圆幂定理模型解读（解析版）-初中数学.pdf

圆中的重要模型之圆幂定理模型

圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理、割线定理、弦切角定理、托勒密定理以及它们

推论的统一与归纳。可能是在19世纪由德国数学家施泰纳(Steiner)或者法国数学家普朗克雷

(Poncelet)提出的。圆幂定理的用法：可以利用圆幂定理求解与圆有关的线段比例、角度、面积等问题。

大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要

知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到

对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的

适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几

何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③明白模型中常见的易错点，因为多数题目考

察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，

还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活

学活用！

模型1.相交弦模型

模型2.双割线模型

模型3.切割线模型

模型4.弦切角模型

模型5.托勒密定理模型

模型1.相交弦模型

相交弦定理(IntersectingChordsTheorem)，经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两线段的积相

等。

1

条件：在圆O中，弦AB与弦CD交于点E，点E在圆O内。

ECEA

结论：△CAE∼△BDE⇒=⇒EC⋅ED=EB⋅EA。

EBED



证明：∵BC=BC，∴∠A=∠D，∵AD=AD，∴∠B=∠C，

ECEA

∴△CAE∼△BDE，∴=，∴EC⋅ED=EB⋅EA。

EBED

1.(2023·浙江绍兴·模拟预测)四边形ABDC内接于圆，对角线交点为E，AB=AC=4,AE=2，若BE、

CE都是整数，则BE的值为．

【答案】3或4

【分析】证明△ABD∽△AEB，求出AD，从而得到DE，再证明△AEC∽△BED，得到BE·CE=12，根据

BE，CE都是整数可得所有可能的取值，再根据三角形三边关系可得BE，CE都是整数，从而得到DE的取

值．

【详解】解：∵AB=AC=4，AE=2，∴∠ADB=∠ADC，

∵∠ABC=∠ADC，∴∠ADB=∠ABC，又∠BAD=∠BAE，∴△ABD∽△AEB，

ABAD4AD

∴=，即=，∴AD=8，∴DE=6，

AEAB24

∵∠CAE=∠DBE，∠ACE=∠BDE，∴△AEC∽△BED，

AECE2CE

∴=，即=，∴BE·CE=12，∵BE，CE都是整数，

BEDEBE6

则BE和CE可取的值为3，4或2，6或1，12；

∵AB=AC=4，∴BCAB+AC=8，∴BC=3+4=7，

∴BE的值为3或4，故答案为：3或4．

【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，以及三角形三边关系，解题的关键是找出适当

的相似三角形得到线段关系．

2

2.(23-24九年级上·山西朔州·期末)阅读与思考

九年级学生小刚喜欢看书，他在学习了圆后，在家里突然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理

(圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等)，下面是书上的证明过程，请仔细阅读，