考点19利用导数研究恒（能）成立问题（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）（学生版） 2025年高考数学大一轮复习核心题型讲与练+易错重难点专项突破（新高考版）.pdf

考点19利用导数研究恒(能)成立问题（3种核心题型+基础

保分练+综合提升练+拓展冲刺练）

【考试提醒】

恒(能)成立问题是高考的常考考点，其中不等式的恒(能)成立问题经常与导数及其几何意

义、函数、方程等相交汇，综合考查学生分析问题、解决问题的能力，一般作为压轴题出现，

试题难度略大．

【核心题型】

题型一分离参数求参数范围

分离参数法解决恒(能)成立问题的策略

(1)分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

(2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；

a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min；

a≥f(x)能成立⇔a≥f(x)min；

a≤f(x)能成立⇔a≤f(x)max.

axé1ù

2024··xe-1lnx+ax³xe-1xÎ,1

【例题1】（全国模拟预测）若关于的不等式在ê2ú内

ëû

a

有解，则正实数的取值范围是（）

é1ùé1ù

A．0,2+2ln2B．êe,eúC．0,4D．ê2e,eú

ëûëû

2024··xa

【变式1】（四川宜宾二模）已知不等式axe+x1-lnx有解，则实数的取值范围为

（）

æ1öæ1öæ1öæ1ö

A．ç-2,+¥÷B．ç-,+¥÷C．ç-¥,2÷D．ç-¥,÷

èeøèeøèeøèeø

-x

2024··aÎRxa(x-2)e-x0

【变式2】（上海普陀二模）已知，若关于的不等式的解集中

a

有且仅有一个负整数，则的取值范围是.

2024··fx=x2-2alnx-2(aÎR)

【变式3】（全国模拟预测）已知函数．

(1)讨论fx的单调性；

(2)fx£2lnx2+x2-2x(1,+¥)

若不等式在区间上有解，求实数a的取值范围．

题型二等价转化求参数范围

根据不等式恒成立构造函数转化成求函数的最值问题，一般需讨论参数范围，借助函数单调

性求解．