常微分方程大纲(数学与应用数学专业).pdf

常微分方程教学大纲

（Theteachingoutlineofordinarydifferentialequations）

（供四年制数学与应用数学专业2009级试用）

课程编号总学时数：51

学分数：3开课单位：数学科学学院

课程的性质与任务

常微分方程是一门从数量关系上研究客观现实世界规律性的学科，它在自然科学和工

程技术中均有着广泛的应用，是数学与应用数学（师范类）专业教学计划中一门重要的专

业课。

通过本课程的教学，使学生掌握常微分方程的基本概念、基本理论和基本方法，能比

较熟练地用初等积分法求解几类典型的一阶方程和可降阶的高阶方程，掌握一阶方程的存

在唯一性定理及线性微分方程(组)的通解理论，并能熟练地运用代数方法解常系数线性方

程(组)，对于简单的应用问题能列出定解问题并会求解，为后继课程和应用打下必要的分

析基础。

以课堂讲授为主，适当安排习题课与讨论课（主要是对存在唯一性定理部分）。组织

1--2个有应用背景的微分方程模型，从建模、求解、到解释，让学生在教师指导下，自

己动手，通过讨论，经历全过程，得到一定训练，提高分析问题和解决问题的能力。

本课程为考试课程，建议考核方式：闭卷考试。

大纲内容与基本要求

第一章绪论

第一节常微分方程模型

第二节基本概念和常微分方程的发展历史

1、常微分方程的基本概念，

2、雅可比矩阵与函数相关性，

3、常微分方程的发展历史。

教学要求：

1、通过简单实际问题的常微分方程模型的建立了解常微分方程的实际背景。

2、掌握常微分方程的基本概念（类型，阶，线性，非线性，解，通解，初值条件，

初值问题，特解，积分曲线以及方向场等），通过方向场与欧拉折线了解一阶微分方程与

解的几何意义。

3、理解函数相关性概念及结论，了解常微分方程的发展历史。

第二章一阶微分方程的初等解法

第一节变量分离方程和变量变换

1、变量分离方程，

2、可化为变量分离方程的类型，

3、应用举例。

第二节线性微分方程与常数变易法

第三节恰当微分方程与积分因子

1、恰当微分方程，

2、积分因子。

第四节一阶隐式微分方程与参数表示

1、可以解出y（或x）的方程，

2、不显含y（或x）的方程。

教学要求：

1、熟练掌握各类一阶显式方程(变量分离方程、齐次方程、准齐次方程、一阶线性方

程、伯努利方程、全微分方程等)的基本解法。

2、理解积分因子的概念，并能寻求特殊形式的积分因子。

3、会求四种特殊类型的一阶隐式方程。

4、能够解决比较简单的应用问题。

第三章一阶微分方程的基本理论

第一节一解微分方程的解的存在唯一性定理与逐步逼近法

1、初值问题的解的存在唯一性定理，

2、近似计算与误差估计。

第二节解的延拓

第三节解对初值的连续性和可微性定理

第四节奇解

1、包络和奇解，

2、克莱罗微分方程。

教学要求：

1、掌握一阶常微分方程初值问题的解的存在唯一性定理及其证明方法--逐次逼近法，

能熟练求出初值问题的近似解。

2、理解一阶常微分方程初值问题的解的延拓定理，了解解对初始值与参数的连续依

赖性，了解解对初始值的可微性。

3、理解包络与奇解概念，并会求奇解。

第四章高阶微分方程

第一节高阶线性微分方程的一般理论

1、齐次线性微分方程的解的性质与结构，

2、非齐次线性微分方程与常数变易法。

第二节常系数线性微分方程的解法

1、复值函数与复值解，

2、常系数齐次线性微分方程和欧拉方程，

3、常系数非齐次线性微分方程与比较系数法，

4、质点振动。

第三节高阶微分方程的降阶和幂级数解