三角函数的概念(第一课时)教学设计 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册.docxVIP

三角函数的概念(第一课时)教学设计 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册.docx

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5.2.1三角函数的概念(第一课时)

教材分析:

三角函数是描述周期现象的重要数学模型,在数学和其他领域中具有重要的作用。这是学生在高中阶段学习的最后一个基本初等函数。后面的三角恒等变换在数学中有一定的应用,三角函数的概念是后面内容的基础之一。教学中要突出模型思想和数形结合思想。

教学目标:

1.掌握任意角的三角函数的定义;

2.已知角α终边上一点,会求角的正弦值、余弦值和正切值;

教学重点:

任意角的三角函数概念;已知角终边上一点,会求角的各三角函数值;

教学难点:

如何建立任意角的三角函数概念。

教学过程:

一、复习

1弧度的角:规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角;

2任意角的弧度的定义:半径为r的圆的圆心角所对的弧长为l,则角的弧度数的绝对值是

3“角度制”与“弧度制”的联系与区别:

4.扇形的弧长和面积公式

5.初中锐角的三角函数是如何定义的?

sin就应该等于对边比斜边,即;cos应该等于临边比斜边,即;tan等于对边比临边,即。这是我们初中学过的定义。这样的三角函数的定义不再适用,那该如何定义任意角的三角函数呢?

二、讲授新课

探究:给定一个角,它的终边OP与单位圆的交点P的坐标是唯一确定的吗?

任意给定一个角∈R,它的终边OP与单位圆的交点P的坐标,无论是横坐标,还是纵坐标,都是唯一确定的.所以,点P的横坐标和纵坐标都是角的函数。

定义:设是一个任意角,∈R,它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y)

把点P的纵坐标y叫做的正弦函数,记作sin,即y=sin

(2)把点P的横坐标x叫做的余弦函数,记作cos,即x=cos

(3)把点P的纵坐标和横坐标的比值叫做的正切,记作tan,即

?=tan(x≠0).

可以看出,当时,的终边始终在y轴上,这时x=0,即此时tan无意义。除此之外,正切tan与实数是一一对应的,所以它们之间也是函数关系,我们称?=tan(x≠0)为正切函数。

我们把正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数。

总结:三角函数可以看成是以实数(为弧度)为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数.

正弦函数y=sinx,x∈R;

余弦函数y=cosx,x∈R;

正切函数y=tanx,x≠()

注意:(1)在任意角的三角函数定义中,是一个使函数有意义的实数;

(2)x是自变量,离开自变量x的sin,cos,tan是没有意义的。

例1求的正弦、余弦和正切值。

解:在直角坐标系中,作,此时的终边与单位圆的交点的坐标为,

所以

如图,设是一个任意角,它的终边上任意一点(不与原点重合)的坐标为,点与原点的距离为.

求证:,,

证明:设角的终边与单位圆交于点,分别过点作轴的垂线,垂足分别为,

则,

.

所以得到,即.

因为与同号,所以,即.

同理可证:,.

三角函数定义推广:设角是一个任意角,P(x,y)是终边上的任意一点,点P与原点的距离0,那么

三角函数是比值,是一个实数,这个实数的大小和点P在终边上的位置无关,终边确定了,三角函数就确定了。

练习:已知角的终边过点P(-4,3),求sin、cos、tan。

解析:因为角的终边经过点P(-4,3),所以r=|OP|=5,所以

小结:已知角的终边在直线上求的三角函数值时,常用的解题方法有以下两种:

方法一:先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值。

方法二:在的终边上任选一点P(x,y),P到原点的距离为r(r0).则,,。已知的终边求的三角函数值时,用这几个公式更方便。

练习

教材P179—P180的1-4题

四、小结

任意角的正弦、余弦、正切的定义

已知角α终边上一点,求角α的各三角函数值的方法。

教学反思:

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