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2010-2023历年河北省唐山市高三第三次模拟考试理科数学试卷(带解析)
第1卷
一.参考题库(共10题)
1.为等比数列,,则(???)
A.
B.24
C.
D.48
2.已知在处取得极值。
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)是否存在实数,使得对任意?若存在,求的所有值;若不存在,说明理由。
3.边界在直线及曲线上的封闭的图形的面积为(???)
A.1
B.
C.2
D.
4.四边形ABCD的四个顶点都在抛物线上,A,C关于轴对称,BD平行于抛物线在点C处的切线。
(Ⅰ)证明:AC平分;
(Ⅱ)若点A坐标为,四边形ABCD的面积为4,求直线BD的方程。
5.若向量,则向量与的夹角的余弦值为?????????????????.
6.设复数,则(???)
A.
B.
C.
D.
7.设全集,则(???)
A.
B.
C.
D.
8.某经销商试销A、B两种商品一个月(30天)的记录如下:
日销售量(件)
0
1
2
3
4
5
商品A的频数
3
5
7
7
5
3
商品B的频数
4
4
6
8
5
3
若售出每种商品1件均获利40元,用表示售出A、B商品的日利润值(单位:元).将频率视为概率.
(Ⅰ)设两种商品的销售量互不影响,求两种商品日获利值均超过100元的概率;
(Ⅱ)由于某种原因,该商家决定只选择经销A、B商品的一种,你认为应选择哪种商品,说明理由.
9.实数满足,则的最小值为(???)
A.
B.
C.
D.2
10.一种电子抽奖方式是:一次抽奖点击四次按钮,每次点击后,随机出现数字1,2,3,4.当出现的四个数字不重复,且相邻两数字不是连续数字(即两个数字差的绝对值为1)时,获头奖,则第一次抽奖获头奖的概率为(???)
A.
B.
C.
D.
第1卷参考答案
一.参考题库
1.参考答案:B试题分析:,代入求得,所以,.
考点:等比数列.
2.参考答案:(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)存在唯一的实数a=符合题意.试题分析:(Ⅰ)由已知条件得f¢(x0)=0得到关于x0的关系式,再求出f(x0);(Ⅱ)将原不等式转化为x2(lnx-a)+a≥0,考察关于x的函数g(x)=x2(lnx-a)+a的单调性,求出最小值g=a-e2a-1,再研究关于a的函数h(a)=a-e2a-1,当a取哪些值时h(a)≥0.
试题解析:(Ⅰ)f¢(x)=.
依题意,lnx0+x0+1=0,则lnx0=-(x0+1).
f(x0)===-x0.
(Ⅱ)f(x)≥等价于x2(lnx-a)+a≥0.
设g(x)=x2(lnx-a)+a,则g¢(x)=x(2lnx-2a+1).
令g¢(x)=0,得x=.
当x∈时,g¢(x)<0,g(x)单调递减;
当x∈时,g¢(x)>0,g(x)单调递增.
所以g(x)≥g=a-e2a-1.
于是f(x)≥恒成立只需a-e2a-1≥0.???
设h(a)=a-e2a-1,则h=0,
且h¢(a)=1-e2a-1,h¢=0.
当a∈(0,)时,h¢(a)>0,h(a)单调递增,h(a)<h=0;
当a∈(,+∞)时,h¢(a)<0,g(x)单调递减,h(a)<h=0.
因此,a-e2a-1≤0,当且仅当a=时取等号.
综上,存在唯一的实数a=,使得对任意x∈(0,+∞),f(x)≥.
考点:导函数的应用
3.参考答案:B试题分析:作出题中的封闭图形,其面积为.
考点:定积分的应用.
4.参考答案:(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)y=2x试题分析:(Ⅰ)依题意设出A、B、C、D四点的坐标,注意到AC的斜率为0,只需证AB、AD的斜率之和为0即可;(Ⅱ)四边形ABCD可以AC为底分成两个三角形求出面积,解出得到的方程即可.
试题解析:(Ⅰ)设A(x0,),B(x1,),C(-x0,),D(x2,).
对y=x2求导,得y¢=2x,则抛物线在点C处的切线斜率为-2x0.
直线BD的斜率k==x1+x2,
依题意,有x1+x2=-2x0.?????
记直线AB,AD的斜率分别为k1,k2,与BD的斜率求法同理,得
k1+k2=(x0+x1)+(x0+x2)=2x0+(x1+x2)=0,
所以∠CAB=∠CAD,即AC平分∠BAD.???
(Ⅱ)由题设,x0=-1,x1+x2=2,k=2.四边形ABCD的面积
S=|AC|·=|AC|·|x2+x1|·|x2-x1|
=×2×2×|2-2x1|=4|1-x1|,
由已知,4|1-x1|=4,得x1=0,或x1=2.
所以点B和D的坐标为(0,0)和(2,4),
故直线BD的方程为y=2x.
考点:1、抛物线及切线;2、直线的斜率及应用.
5.参考答案:试题分析:,,两向量的夹角的余弦为.
考点:向量的加、减、数量积运算.
6.参考答案:D试题分析:,所以.
考点:复数的运算.
7.参考答案
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