大招4圆系方程（解题大招）.docx

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大招4??圆系方程

1.圆系方程

根据前面直线系方程的铺垫，我们这里可以直接将圆系方程定义如下：圆系方程是满足某个条件的一系列圆的通式方程.圆系方程中比较常见的通式方程有以下三种：

①圆系，为圆心坐标是的圆的通式方程.

②如果圆与直线有两个交点，

那么圆系，为过圆M与直线l的两个交点的圆的通式方程.

③如果圆与圆有两个交点，

那么当时，圆系为过圆M与圆N的两个交点的圆的通式方程（不含圆），当时，为过圆M与圆N的两个交点的直线的方程.（在二次项系数一致的情况下，两圆方程相减即可得过两圆点的直线方程）

2.圆系方程问题的一般解法

类似于直线系方程相关问题，要处理圆系方程相关问题，关键是寻找这个圆系方程满足什么条件，进而把这个条件作为突破口解决问题.

【典例1】求经过直线与圆的交点，且经过点的圆的方程.

【大招指引】设所求圆的方程为，由点在圆上求得，即可得方程.

【解析】设所求圆的方程为，

又在圆上，则，解得，

故所求圆的方程为，即.

【题后反思】本题也可以联立直线与圆的方程求交点，根据三点在圆上，应用待定系数法求圆的方程.

【温馨提醒】若所求的圆过一直线与一圆的交点，可以运用直接法求交点，再设所求的圆方程为标准方程或一般方程，把交点坐标代入且由另一个条件得方程组解之求或，但运算量肯定比挍大，利用圆系方程可以简化解题过程、提高解题速度.

【举一反三】

1．求过直线和圆的交点，且面积最小的圆的方程.

【典例2】已知圆，圆.

（1）求圆与圆的公共弦长；

（2）求过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程.

【大招指引】（1）将两圆方程作差可求出公共弦的方程，然后求出圆心到公共弦的距离，再利用弦心距，半径和弦的关系可求得答案；（2）设过两圆的交点的圆为，求出圆心坐标代入中可求出，从而可求出圆的方程.

【解析】（1）将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程，

即，化简得，

所以圆的圆心到直线的距离为，

则，解得，

所以公共弦长为.

（2）设过两圆的交点的圆为，

则；

由圆心在直线上，则，解得，

所求圆的方程为，即.

【题后反思】该题第（2）问也可以将公共弦方程代入圆方程中求出两圆的交点坐标，设所求圆的圆心坐标为，然后列方程组可求出，再求出圆的半径，从而可求出圆的方程.

【温馨提醒】过与圆的圆系方程为（不包括圆为参数，当时，为一条直线（即过两圆交点的直线），利用圆系方程可以减少计算量.

【举一反三】

2．求过两圆和的交点且面积最小的圆的方程.

3．过点作曲线的两条切线，切点分别为，则直线的方程为（）

A． B． C． D．

4．求过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程（????）

A． B．

C． D．

5．对于任意实数λ，曲线(1+λ)x2+(1+λ)y2+(6-4λ)x-16-6λ=0恒过定点.

6．经过直线与圆的交点，且过点的圆的方程为.

7．关于曲线有以下五个结论：

①当时，曲线C表示圆心为，半径为的圆；

②当，时，过点向曲线C作切线，切点为A，B，则直线AB的方程为；

③当，时，过点向曲线C作切线，则切线方程为；

④当时，曲线C表示圆心在直线上的圆系，且这些圆的公切线方程为或；

⑤当，时，直线与曲线C表示的圆相离.

以上正确结论的序号为.

8．求过圆：与圆：的交点，圆心在直线：圆的方程.

9．已知圆与直线相交于、两点，点为坐标原点，若，求实数的值．

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参考答案：

1．

【分析】根据题意，设出圆的方程为，求得圆的半径，结合二次函数的性质，即可求解.

【详解】设过直线和圆的交点的圆系方程，

可设为，

即，

可得圆的半径为，

故当时对应圆的半径最小，且最小半径为.

故所求圆的方程为.

2．

【分析】根据题意，求得两圆的公共弦的方程为，再设出所求圆的方程，结合题意和圆的性质，求得的值，即可求解.

【详解】由圆和，

两圆的方程相减，可得两圆的公共弦方程为，

过直线与圆的交点的圆，

可设为，即，

要使得所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，

圆心必在公共弦所在直线上，

即，解得，

代回圆系方程得所求圆方程.

3．A

【分析】根据题意，求得以为直径的圆的方程，结合两圆的公共弦方程的求法，即可求解.

【详解】由曲线，可化为，可得圆心，半径为，

因为分别切圆于，所以四点在以为直径的圆，半径为，

故圆的方程为：，即上，

两圆的方程相减，可得两圆公共弦所在直线的方程为，

即直线的方