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？比较根值比值是是否否判断敛散！否发散基本步骤：是莱布尼茨判断或

第十二章无穷级数

主要内容目的要求二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算掌握幂级数的概念、会求收敛半径与收敛区域，了解幂级数的运算性质，会求简单的幂级数的和函数第三节幂级数一、函数项级数的一般概念

1.定义一、函数项级数的一般概念

2.收敛点与收敛域

例如,等比级数它的收敛域是它的发散域是或写作有和函数

3.和函数函数项级数的部分和余项注意(x在收敛域上)函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是常数项级数的收敛问题.

二、幂级数及其收敛性1.定义:2.收敛性:

几何说明发散区域发散区域收敛区域

规定问题如何求幂级数的收敛半径?定义正数R称为幂级数的收敛半径.称为幂级数的收敛区间，收敛域=收敛区间+收敛的端点可能是

证明求下列幂级数的收敛域:例1

解该级数收敛该级数发散

发散收敛故收敛域为(0,1].

注:(1)利用该定理求收敛半径要求所有的或只有有限个.则(2)如缺项,必不存在,但幂级数并不是没有收敛半径，此时不能套用定理,可考虑直接用比值法或根值法求收敛半径.解:缺少偶次幂的项直接用比值法求.此种类型要会求!例2

级数收敛,级数发散,级数发散,级数发散,原级数的收敛区间为

三、幂级数的运算1.代数运算性质:(1)(2)其中(3)

说明:两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径可能比原来两个幂级数的收敛半径小得多.例如,设它们的收敛半径均为但是其收敛半径只是

2.和函数的分析运算性质:(收敛半径不变)

(求导后所得的幂级数和原级数有相同的收敛半径)

幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它的收敛域是否也不变？思考题解答：不一定.例它们的收敛半径都是1,但它们的收敛域各是

两边积分得解例3

的和函数解:易求出幂级数的收敛半径为1,x＝±1时级数发散,例4

分析逐项求导为例5

求和函数解收敛域为记则并求的和例3

故故

内容小结1.求幂级数收敛域的方法1)对标准型幂级数先求收敛半径,再讨论端点的收敛性.2)对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式)求收敛半径时直接用比值法2.幂级数的性质两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与也可通过换元化为标准型再求.乘法运算.

2)在收敛区间内幂级数的和函数连续;3)幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分.3.求和函数的常用方法—利用幂级数的性质P2771（偶），2

思考题已知处条件收敛,问该级数收敛半径是多少?答:根据Abel定理可知,级数在收敛,时发散.故收敛半径为

练习题

练习题答案