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空气动力学数值方法：边界元法(BEM)与CFD方法的比较

1空气动力学数值方法简介

1.1数值方法在空气动力学中的应用

空气动力学研究中，数值方法是解决流体动力学问题的关键工具之一。它

通过将连续的流体动力学方程离散化，转化为一系列可以在计算机上求解的代

数方程组。这种方法特别适用于处理复杂几何形状和流场条件，因为它们可以

提供详细的流场信息，而无需进行昂贵的物理实验。

1.1.1BEM与CFD方法概述

1.1.1.1边界元法(BEM)

边界元法(BoundaryElementMethod,BEM)是一种数值方法，它将流体动力

学问题的求解域从整个流场缩小到仅包含物体表面的边界上。这种方法基于格

林定理，将流场中的偏微分方程转化为边界上的积分方程。BEM的主要优点是

它大大减少了计算资源的需求，因为只需要处理边界上的节点，而不是整个流

场的节点。然而，BEM在处理非线性问题和内部流场信息时存在局限性。

1.1.1.2计算流体动力学(CFD)

计算流体动力学(ComputationalFluidDynamics,CFD)是一种更为全面的数值

方法，它可以在整个流场内求解流体动力学方程。CFD方法通常基于有限体积

法、有限元法或有限差分法，这些方法将流场划分为许多小的控制体或单元，

然后在每个单元上求解流体动力学方程。CFD能够提供流场的详细信息，包括

速度、压力和温度分布，适用于处理复杂的流体动力学问题，如湍流、传热和

多相流。

1.1.2BEM与CFD的比较

BEM和CFD在空气动力学数值模拟中各有优势和局限性。BEM在处理外部

流场和线性问题时效率高，计算成本低，但处理内部流场和非线性问题的能力

较弱。CFD则能够处理更广泛的流体动力学问题，包括非线性和内部流场，但

计算成本较高，需要更强大的计算资源。

1.1.2.1示例：使用BEM求解二维绕流问题

假设我们有一个二维绕流问题，目标是计算一个圆柱周围的流场。我们可

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以使用BEM来求解这个问题，通过在圆柱的边界上设置源点和双极点，然后求

解边界上的积分方程。

#导入必要的库

importnumpyasnp

fromscipy.integrateimportquad

#定义圆柱的半径和流体的自由流速度

radius=1.0

u_inf=1.0

#定义格林函数

defgreen_function(x,y,source_point):

r=np.sqrt((x-source_point[0])**2+(y-source_point[1])**2)

returnu_inf*(1+(source_point[0]-x)/r)

#定义边界上的积分方程

defboundary_integral_equation(theta,source_point):

x=radius*np.cos(theta)

y=radius*np.sin(theta)

integral,_=quad(lambdat:green_function(x,y,[radius*np.cos(t),radius*np.sin(t)]),0,2*n

p.pi)

return-0.5*u_inf+integral

#求解边界上的速度

theta=np.linspace(0,2*np.pi,100)

speeds=[boundary_integral_equation(t,[0,0])fortintheta]

#打印结果

print(边界上的速度分布:,speeds)

这个例子展示了如何使用BEM来求解一个简单的二维绕流问题。通过在圆

柱边界上设置源点，我们能够计算出边界上的速度分布。然而，这个例子忽略

了非线性效应和内部流场的计算，这些都是CFD方法能够处理的。

1.1.2.2示例：使用CFD求解二维绕流问题

对于同样的二维绕流问题，使用CFD方法，我们可以采用有限体积法来求

解整个流场的纳维-斯托克斯方程。下面是一个使用Python和OpenFOAM（一

个流行的CFD软件包）来设置和求解二维绕流问题的简化示例。

#导入必要的库

importos

#设置OpenFOAM的环境变量

os