5.1 导数的概念及其意义（第1课时 变化率问题、导数的概念）课件-高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册.pptx

人教A版数学选择性必修第二册;课标定位素养阐释;自主预习新知导学;(2)当Δt趋近于0时,问题(1)中的平均速度趋近于多少?怎样理解这一速度?

提示:当Δt趋近于0时,趋近于3g,即平均速度趋近于物体在t=3时的瞬时速度.;2.(1)平均速度;3.如果质点A沿直线运动,位移s(单位:m)与时间t(单位:s)之间的关系为s(t)=3t2,那么质点A在t0=3时的瞬时速度为()m/s.

A.6 B.18

C.54 D.81

解析:∵s(t)=3t2,t0=3,

∴s(t0+Δt)-s(t0)=3(3+Δt)2-3×32=18Δt+3(Δt)2.;二、函数y=f(x)从x0到x0+Δx的平均变化率

1.假设一座山的剖面图如图所示,建立平面直角坐标系.设A是出发点,H是山的最高处,爬山路线用函数y=f(x)表示.

自变量x表示某游客的水平位置,函数值y=f(x)表示此时游客所在的高度,则点A的坐标为(x1,y1),点B的坐标为(x2,y2).;(1)该游客从点A到点B,自变量x和函数值y的变化量分别是多少?

提示:自变量x的变化量为x2-x1,记作Δx;函数值的变化量为y2-y1,记作Δy.

(2)由y的变化量的大小能否判断山路的陡峭程度?

提示:不能.山路的陡峭程度也与自变量x的变化量有关.

(3)怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度?;2.对于函数y=f(x),设自变量x从x0变化到x0+Δx,相应地,函数值y就从f(x0)变化到f(x0+Δx).这时,x的变化量为Δx,y的变化量为Δy=f(x0+Δx)-f(x0).;3.函数平均变化率的几何意义:;5.如图,函数y=f(x)在区间[x1,x2],[x2,x3],[x3,x4]上,平均变化率最大的一个区间是.?;三、函数f(x)在x=x0处的导数

1.(1)函数在某点处的导数是一个变量还是一个定值?

提示:是一个定值,是函数在该点的函数值的变化量与自变量的变化量比值的极限,不是变量.

(2)函数y=f(x)的导数处处为0,是否说明函数y=f(x)为常数函数?

提示:是.;;3.已知f(x)=x2-3x,则f(0)=()

A.Δx-3 B.(Δx)2-3Δx C.-3 D.0;【思考辨析】

判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“√”,错误的画“×”.;合作探究释疑解惑;;若把例题中的“v0”改为“v0=20”,求物体在t=3s时的瞬时速度.;反思感悟已知运动物体的位移s与时间t的关系满足y=s(t),求运动物体瞬时速度的三个步骤

第一步,求时间变化量Δt和位置变化量Δy=s(t0+Δt)-s(t0).

第二步,求平均速度.

第三步,求瞬时速度,当Δt无限趋近于0时,无限趋近于常数v,即??瞬时速度.;求:(1)物体在3≤t≤5这段时间内的平均速度;

(2)物体的初速度v0;

(3)物体在t=1s时的瞬时速度.;解:(1)因为物体在3≤t≤5这段时间内的时间变化量为Δt=5-3=2,物体在3≤t≤5这段时间内的位移变化量为Δs=3×52+2-(3×32+2)=3×(52-32)=48,;(3)物体在t=1s时的瞬时速度即为函数在t=1处的瞬时变化率.

因为物体在t=1s附近的平均速度为;;解:f(x)在x=1附近的平均变化率为;反思感悟求函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率的三个步骤

(1)求自变量的变化量,Δx=x2-x1.

(2)求函数值的变化量,Δy=f(x2)-f(x1).;;反思感悟利用导数的定义求函数y=f(x)在x=x0处导数的三个步骤

(1)求函数的变化量Δy=f(x0+Δx)-f(x0).;【变式训练3】求函数y=f(x)=3x2+ax+b在x=1处的导数.

解:∵Δy=f(1+Δx)-f(1)=[3(1+Δx)2+a(1+Δx)+b]-(3+a+b)=3(Δx)2+(6+a)Δx,;【易错辨析】;以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?

提示:平均变化率中的Δy是在自变量的变化量为Δx时的变化量,它们是相对应的,若不一致,则会导致出错,如本例中自变量的变化量是(x0+2Δx)-x0=2Δx.;A.-2 B.2

C.-4 D.4;随堂练习;1.已知函数y=f(x)=x2+1,则在x=2,Δx=0.1时,Δy的值为()

A.0.42 B.0.41

C.0.43 D.0.44

解析:Δy=f(2.1)-f(2)=0.41.故选B.

答案:B

2.（多选题）函数f(x)=x2-1从x0到x0+Δx的平均变化率为()

A.2x0-1 B.2x0+Δx

C.2x0Δx+(Δx)2 D.(Δx)2-Δx+1;3.