同济高数第3章课件第4节.ppt

第四节函数的单调性与曲线的凹凸性(单调减少)一、函数的单调性

证应用拉氏定理,得

例1解定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调，确定单调区间方法:则该区间称为函数的单调区间来划分f(x)的定义区间，然后判断各区间内导数的符号。

例2解单调区间为

例3解单调区间为

例4证

例5

2、函数的单增区间为____________，一、填空题：1、函数在区间[-1,1]上单调________，在________________上单调减.单减区间为_____________.若，则二、?证明不等式：增加

问题:如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意弧段位于所张弦的上方图形上任意弧段位于所张弦的下方二、曲线的凹凸与拐点

定义

定理2设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一阶和二阶导数，若在(a,b)内则f(x)在[a,b]上图形是凹的，则f(x)在[a,b]上图形是凸的。

证明

例1解注意到,

拐点注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点求拐点的方法：（1）求出二阶导数为零的点、二阶导数不存在的点。

例2解凹凸凹拐点拐点

例3解

例4证明证

练习题2、利用函数图形的凹凸性，证明不等式：1、求曲线的拐点3、??问a及b为何值时，点(1,3)为曲线的拐点？

3、解因为点(1,3)为曲线的拐点？

解法一：

不在曲线上，不是拐点

解法二：