2024-2025学年上学期高三九月七校联考高三数学.docx

2024-2025学年上学期高三九月七校联考数学试卷

本页4页满分150分，考试用时120分钟

注意事项：

1．答题前，先将自已的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置．

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．

3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．

4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．如图，已知矩形U表示全集，A、B是U的两个子集，则阴影部分可表示为（???）

A． B．

C． D．

2．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为，，，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（????）

A． B． C． D．

3．已知点是抛物线上一点，若到抛物线焦点的距离为5，且到轴的距离为4，则（????）

A．1或2 B．2或4 C．2或8 D．4或8

4．圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为4．已知P为该圆台某条母线的中点，若一质点从点P出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点P，则该质点运动的最短路径长为（????）

A． B．6 C． D．

5．将数字随机填入的正方形格子中，则每一横行?每一竖列以及两条斜对角线上的三个数字之和都相等的概率为（????）

A． B． C． D．

6．定义：已知数列的首项，前项和为.设与是常数，若对一切正整数，均有成立，则称此数列为“”数列.若数列是“”数列，则数列的通项公式（????）

A． B． C． D．

7．在的展开式中，含的项的系数是7，则（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

8．已知函数是定义在上的偶函数，且在区间单调递减，若，且满足，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9．欧拉公式（i为虚数单位，）是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的是（????）

A．的虚部为 B．

C． D．的共轭复数为

10．对于随机事件A，B，若，，，则（????）

A． B． C． D．

11．如图，正方体的棱长为1，动点在对角线上，过作垂直于的平面，记平面与正方体的截面多边形（含三角形）的周长为，面积为，，下面关于函数和的描述正确的是（????）

A．最大值为；

B．在时取得极大值；

C．在上单调递增，在上单调递减；

D．在上单调递增，在上单调递减

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12．《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦，易经包含了深刻的哲理.如图所示是八卦模型图以及根据八卦图抽象得到的正八边形，其中为正八边形的中心，则.

??

13．已知数列满足，，，且，则.

14．已知函数，若存在实数且，使得，则的最大值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15.（本小题13分）

已知锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．

(1)证明：；

(2)若，求的取值范围．

16.（本小题15分）

已知数列的前项和为，且.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前项和.

17.（本小题15分）

如图，四边形为菱形，平面．

??

(1)证明：平面平面；

(2)若，二面角的大小为120°，求PC与BD所成角的余弦值．

18.（本小题17分）

已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为，点为上一点，周长为，其中为坐标原点．

(1)求的方程；

(2)直线与交于两点，

（i）求面积的最大值；

（ii）设，试证明点在定直线上，并求出定直线方程．

19.（本小题17分）

已知函数.

(1)当时，求的单调区间；

(2)若函数存在正零点，

（i）求的取值范围；

（ii）记为的极值点，证明：.