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第六讲数学的方法和思想（三）

等量代换法

小朋友们一定都知道的小儿子）称大象的故事吧。用一条船，让大象先上船，看船被

河水水面淹没到什么位置，然后刻上记号。把大象赶上岸，再把这条船装上石块，当船被水面淹没到记号

的位置时，就可以判断：船上的石块共有多重，大象就有多重。

为什么大象的重量可以换成一船石块的重量呢？因为两次船下沉后被水面所淹没的深度一样，只有当

大象与一船石头一样重（重量相等）时，才会淹没得一样深。

“称象”不是瞎称的，而是运用了“等量代换”的思考方法：两个完全相等的量，可以互相代换。

解数学题，经常会用到这种思考方法。

【例1】用两台水泵抽水，小水泵抽6小时，大水泵抽8小时，一共抽水312立方米。小水泵5小时的

抽水量等于大水泵2小时的抽水量，两种水泵每小时各抽水多少立方米？

【例2】1元钱1瓶汽水，喝完后两个空瓶换1瓶汽水。问：你有20元钱，最多可以喝到几瓶汽水？

【例3】（第七届《小数报》数学竞赛决赛）大盒放有若干支同样的钢笔，小盒放有若干同样的圆珠笔，

两盒笔的总价相等．如果从大盒取出8支钢笔放入小盒，从小盒取出10支圆珠笔放盒，必须在大盒

中再添两支同样的钢笔，两盒笔的总价才相等．如果从大盒取出10支钢笔放人小盒，从小盒取出8支圆

珠笔放盒，那么大盒内笔的总价比小盒少44元．每支钢笔多少元?

【例4】如右图，AB长20厘米，D、E分别是AC、BC的

中点，那么AD+BE是多少厘米？

【例5】如右图：阴影部分是正方形，求出最大的长方形的周长。

枚举法

在数学问题中，有一些需要计算总数或种类的趣题，因其数量关系比较隐蔽，很难找到“正统”的方

式解答，让人感到无从下手。对此，我们可以先初步估计其数目的大小。若数目不是太大，就按照一定的

顺序，一一列举问题的可能情况；若数目过大，并且问题繁杂。我们就抓住对象的特征，选择恰当的标准，

把问题分为不重复、不遗漏的有限种情形，通过一一列举或计数，最终达到解决目的。这就是枚举法，也

叫做列举法或穷举法。其特点是有条理，不易重复或遗漏，使人一目了然。适用于所求的对象为有限个。

【例6】明明带8元钱去商店买冰激凌。有三种冰激凌，售价分别是5元一支、2元一支和1元一支。

如果这8元钱全部用于买这三种冰激凌，共有多少种不同的买法?

【例7】从1到100的自然数中，每次取出两个数，要使它们的和大于100，共有多少种取法？

【例8】商店有围巾4种，每种价钱依次是12元、10元、8元和6元。帽子有3种，每种价钱依次是9

元、7元和5元。如果一顶帽子和一条围巾配成一套，每套可以有多少种不同价钱?

【例9】一个学生假期往A、B、C三个城市游览．他今天在这个城市，明天就到另一个城市．假如他第

一天在A市，第五天又回到A市．问他的游览路线共有几种不同的方案?

奇偶性分析法

（1）奇数和偶数的概念：整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数

叫做奇数。特别注意，因为0能被2整除，所以0是