河北省衡水中学2024-2025学年高三上学期第一次综合素养测评数学试题（解析版）.docx

2024-2025学年度高三年级上学期第一次综合素养测评

数学学科

注意：本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分，共150分.考试时间120分钟.共4页，19个题目.

第I卷（选择题共58分）

一、单项选择题（每小题5分，共40分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）

1.已知不等式的解集为，不等式的解集为，则为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】解不等式化简集合，再利用交集的定义求解即得.

【详解】解不等式，得，即，

解不等式，得，即，

所以.

故选：D

2.已知，则向量与的夹角为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】结合向量的夹角公式，以及向量的夹角的范围，即可求解；

【详解】因为，设向量与的夹角为

所以，

又因为，所以

故选：B.

3.如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角，C点的仰角以及，从C点测得，已知山高，则山高MN=（）

A.120 B.150 C. D.160

【答案】C

【解析】

【分析】由题意，可先求出的值，从而由正弦定理可求的值，在中，，，从而可求得的．

【详解】解：在中，，，所以．

在中，，，从而，

由正弦定理得，，因此．

中，，，由得；

山高；

故选：

4.已知等差数列和的前项和分别为、，若，则（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据等差数列的性质和通项公式可得，再根据等差数列的求和公式可得，结合已知条件求解即可

【详解】设等差数列的公差为，则，

因为，

所以，

因为等差数列和的前项和分别为、，满足，

所以，

所以，

故选：C

5.已知双曲线的左、右焦点分别为，P是双曲线C的一条渐近线上的点，且线段的中点N在另一条渐近线上．若，则双曲线C的离心率为（）

A. B. C.2 D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用平方关系、商数关系求出，再由得出可得答案.

【详解】因为N，O分别是的中点，所以，

又，

，

所以，

所以，故．

故选：A．

6.点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（）

A.； B.；

C.； D.；

【答案】A

【解析】

【分析】求出直线所过的定点，再确定最大值条件即可求解.

【详解】将直线变形得，

由，解得，因此直线过定点，

当时，点到直线的距离最大，

最大值为，又直线的斜率，

所以直线的方程为，即.

故选：A

7.已知函数的定义域为，且若，则的取值范围为（）

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】当时，判断函数单调性，由单调性可知；当时，根据单调性的性质和复合函数单调性可知单调递增，可得，然后将原不等式转化为即可得解.

【详解】当时，，

由复合函数的单调性可知在上单调递减，

所以；

当时，，

因为在上单调递增，为增函数，

所以在上单调递增，

又在上为增函数，所以在单调递增，

所以.

综上，在上恒成立，当且仅当时取等号.

所以不等式，

解得且且，即原不等式的解集为.

故选：D

【点睛】思路点睛：解分段函数相关不等式时，需要根据自变量范围进行分类讨论，利用单调性求解即可.

8.已知对恒成立，则的最大值为（）

A.0 B. C.e D.1

【答案】D

【解析】

【分析】由题意得对恒成立，令，利用导数求得，即，再令，利用导数求出的最小值，可求出的取值范围，从而可求出的最大值.

【详解】由，得，

所以对恒成立，

令，则在上单调递增，

由，得，

当时，，当时，，

所以在上递减，在上递增，

所以，即

令，

则在上单调递增，

由，得，

所以当时，，当时，，

所以在上递减，在上递增，

所以，所以，

所以的最大值为1.

故选：D

【点睛】关键点点睛：此题考查利用导数解决不等式恒成立问题，考查利用导数求函数的最值，解题的关键是通过对原不等式变形，将问题转化为对恒成立，然后构造函数，利用导数求出最值即可，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.

二、多项选择题（每题6分，共18分，每题给出的选项中有多项符合要求，全部选对得6分，错选得0分，部分选对得部分分）

9.若数列为递增数列，则的通项公式可以为（）

A. B. C. D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用作差法判断A、B、D，利用特殊值判断C.

【详解】对于A：，

所以，所以为递增数列，故A正确；

对于B：，所以，所以为递增数列，故B正确；

对于C：因为，则，，所以不单调，故C错误；

对于D：，所以，所以为递增数列，故D正确；

故选：ABD

10.函数的部分图象如图中实线所示，为函数与轴的交点，圆与的图象交