空气动力学数值方法：计算流体力学(CFD)：CFD中的偏微分方程.pdfVIP

空气动力学数值方法：计算流体力学(CFD)：CFD中的偏微

分方程

1绪论

1.1空气动力学与CFD的简介

空气动力学是研究物体在气体中运动时，气体与物体相互作用的科学。它

在航空、汽车、风力发电等领域有着广泛的应用。计算流体力学（CFD）是空气

动力学的一个重要分支，它利用数值方法来解决流体动力学问题，通过计算机

模拟流体的流动，预测流体对物体的作用力，以及流体内部的物理现象。

CFD的核心是将流体动力学的连续方程离散化，转化为可以在计算机上求

解的代数方程组。这些连续方程包括质量守恒方程、动量守恒方程和能量守恒

方程，它们描述了流体的密度、速度和温度如何随时间和空间变化。

1.2偏微分方程在CFD中的作用

在CFD中，偏微分方程（PDEs）是描述流体动力学行为的基础。例如，纳

维-斯托克斯方程（Navier-Stokesequations）是描述粘性流体流动的偏微分方程

组，它由以下三个方程组成：

1.连续性方程：描述流体质量的守恒。

2.动量方程：描述流体动量的守恒。

3.能量方程：描述流体内能的守恒。

这些方程通常写为：

∂

+∇⋅=0

∂

∂

+∇⋅⊗=−∇+∇⋅+

∂

∂

+∇⋅+=∇⋅+∇⋅

∂

其中，是流体密度，是流体速度向量，是流体压力，是应力张量，

是总能量，是热导率，是温度，是重力加速度向量。

1.2.1示例：一维连续性方程的数值解

假设我们有一个一维的流体流动问题，流体在管道中流动，我们只考虑流

体密度随时间的变化。连续性方程简化为：

∂∂

+=0

∂∂

1

我们可以使用有限差分法来离散这个方程。假设我们有一个均匀网格，网

格间距为，时间步长为，我们可以使用向前差分来近似时间导数，中心差

分来近似空间导数：

1−1−1

+=0

2

其中，表示在时间和位置的流体密度。

下面是一个使用Python实现的简单示例，展示如何使用上述差分公式来求

解一维连续性方程：

importnumpyasnp

#参数设置

rho=np.zeros(100)#初始密度分布

rho[50]=1.0#在中间位置设置一个密度峰值

u=0.1#流体速度

dx=0.1#空间步长

dt=0.01#时间步长

t_end=1.0#模拟结束时间

n_steps=int(t_end/dt)#时间步数

#更新密度分布

forninrange(n_steps):

rho[1:-1]=rho[1:-1]-dt/(2*dx)*(rho[2:]*u-