空气动力学数值方法：计算流体力学(CFD)：CFD中的湍流模型.pdfVIP

空气动力学数值方法：计算流体力学(CFD)：CFD中的湍流

模型

1绪论

1.1湍流模型在CFD中的重要性

在计算流体力学（CFD）领域，湍流模型扮演着至关重要的角色。湍流，作

为流体运动的一种复杂状态，其不规则的、随机的特性使得直接数值模拟

（DNS）在大多数实际应用中变得不切实际，因为这需要极高的计算资源和时

间。因此，湍流模型被开发出来，以简化湍流的计算，通过数学方法和物理假

设来近似湍流的行为，从而使得CFD能够应用于工程设计和分析中，如飞机翼

型设计、汽车空气动力学优化、烟囱排放预测等。

1.2湍流的基本概念

湍流是一种流体运动状态，其中流体的运动是不规则的，速度和压力在时

间和空间上快速变化。湍流的特征包括：

涡旋结构：湍流中存在大小不一的涡旋，这些涡旋相互作用，能

量从大尺度涡旋传递到小尺度涡旋，最终通过粘性耗散转化为热能。

能量耗散：湍流中的能量耗散率远高于层流，这是因为湍流中存

在大量的小尺度涡旋，这些涡旋通过粘性作用快速耗散能量。

雷诺数：湍流的发生与雷诺数密切相关，雷诺数是流体流动中惯

性力与粘性力的比值，当雷诺数超过一定阈值时，流体流动倾向于转变

为湍流。

1.3湍流模型的历史发展

湍流模型的发展经历了几个关键阶段：

雷诺平均Navier-Stokes方程（RANS）：这是最早的湍流模型之一，

通过时间平均Navier-Stokes方程来消除湍流的瞬时波动，从而简化计算。

RANS模型需要额外的湍流闭合方程，如k-ε模型、k-ω模型等。

大涡模拟（LES）：LES是一种更先进的湍流模拟方法，它直接模拟

大尺度涡旋，而对小尺度涡旋进行模型化。LES能够提供比RANS更准确

的湍流结构信息，但计算成本也更高。

直接数值模拟（DNS）：DNS是计算流体力学中最精确的湍流模拟

方法，它直接求解瞬时的Navier-Stokes方程，不进行任何平均或模型化。

然而，DNS的计算成本极高，通常只适用于小尺度、低雷诺数的流动。

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1.3.1示例：k-ε湍流模型的实现

下面是一个使用Python和SciPy库实现k-ε湍流模型的简单示例。这个例

子将展示如何在二维空间中求解k-ε方程组，以模拟湍流边界层。

importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportdiags

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#定义网格参数

nx=100#网格点数

dx=0.1#网格间距

dt=0.01#时间步长

#定义湍流模型参数

k=np.zeros(nx)#湍动能

epsilon=np.zeros(nx)#湍流耗散率

nu=0.01#动力粘度

Cmu=0.09#湍流模型常数

C1=1.44#湍流模型常数

C2=1.92#湍流模型常数

sigma_k=1.0#湍动能的Prandtl数

sigma_epsilon=1.3#湍流耗散率的Prandtl数

#定义边界条件

k[0]=1.0#湍动能的入口边界条件

epsilon[0]=0.1#湍流耗散率的入口边界条件

#构建差分矩阵

A=diags([-1,2,-1],[-1,0,1],shape=(nx,nx))/dx**2

A[0,0]=1

A[-1,-1]=1

#求解k-ε方程组

fortinrange(1000):

#求解湍动能方程

k_rhs=A.dot(k)+(Cmu*k**1.5/epsilon)*(A.dot(k)-k[1:-1]/dx**2)

k=spsolve(A,k_rhs)

#求解湍流耗散率方程

epsilon_rhs=A.dot(epsilon)+(C1*k*epsilon/k)*(A.dot(k)-k[1:-1]/dx**2)-(C2*epsilon*