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排列组合常见21种解题方法--第1页
排列组合常见21种解题方法.
排列组合问题联系实际生动有趣,但题型多样,思路灵活,
因此解决排列组合问题,首先要认真审题,弄清楚是排列问题、
组合问题还是排列与组合综合问题;其次要抓住问题的本质特
征,采用合理恰当的方法来处理。
教学目标:
1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。
2.掌握解决排列组合问题的常用策略,能运用解题策略解
决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力。
3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题。
复巩固:
1.分类计数原理(加法原理):完成一件事,有n类办法,
在第1类办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2
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排列组合常见21种解题方法--第2页
种不同的方法,…,在第n类办法中有mn种不同的方法,那
么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法。
2.分步计数原理(乘法原理):完成一件事,需要分成n
个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不
同的方法,…,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件
事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法。
3.分类计数原理和分步计数原理的区别:分类计数原理方
法相互独立,任何一种方法都可以独立地完成这件事。分步计
数原理各步相互依存,每步中的方法完成事件的一个阶段,不
能完成整个事件。
解决排列组合综合性问题的一般过程如下:
1.认真审题弄清要做什么事。
2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或
是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
排列组合常见21种解题方法--第2页
排列组合常见21种解题方法--第3页
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无
序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素。
4.解决排列组合综合性问题,往往类与步交叉,因此必须
掌握一些常用的解题策略。
一。特殊元素和特殊位置优先策略:
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数。
解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不
合要求的元素占了这两个位置。先排末位共有C3^1种方法,
然后排首位共有C4^1种方法,最后排其它位置共有A4^3种
方法,根据分步计数原理得到答案为C4^1×C3^1×A4^3=
288.
入问题或空位法来解决。对于顺序一定的元素,可以先将
它们与其它元素一起排列,然后除以这几个元素之间的全排列
数,得到不同排法的种数。另外,也可以设想有空位让其它元
素插入,或者使用插入法将其它元素插入已经排好的顺序一定
的元素中。
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排列组合常见21种解题方法--第4页
练题:某班有10名同学,其中3名男生和2名女生的顺
序必须相邻,求不同的排队方法数。可以使用插入法,先将3
名男生和2名女生排列好,共有2种排法,然后将其它5名同
学插入其中,共有A6^5种不同的排队方法。最终的答案为
2*A6^5.
五.重复元素问题的排列组合
例5.有3个球队A、B、C进行比赛,每队比赛2场,问
有多少种不同的比赛
安排方法?
解:先安排A队的比赛,
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