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重难点突破之奔驰定理与“四心”问题
【常用结论】
考点一.四心的概念介绍:
(1)重心:中线的交点,重心将中线长度分成2:1.
(2)内心:角平分线的交点(内切圆的圆心),角平分线上的任意点到角两边的距离相等.
(3)外心:中垂线的交点(外接圆的圆心),外心到三角形各顶点的距离相等.
(4)垂心:高线的交点,高线与对应边垂直.
考点二.奔驰定理---解决面积比例问题
(1)重心定理:三角形三条中线的交点.
x+x+x13
已知△ABC的顶点A(x,y),B(x,y),C(x,y),则△ABC的重心坐标为G(2,
112233
3
y+y+y
123).
3
注意:(1)在△ABC中,若O为重心,则OA+OB+OC=0.
(2)三角形的重心分中线两段线段长度比为2:1,且分的三个三角形面积相等.
11
重心的向量表示:AG=AB+AC.
33
奔驰定理:S⋅OA+S⋅OB+S⋅OC=0,则△AOB、△AOC、△BOC的面积之比等于λ:λ:λ
ABC321
奔驰定理证明:如图,令λOA=OA,λOB=OB,λOC=OC,即满足OA+OB+OC=0
112131111
S△AOB1S△AOC1S△BOC1
=,=,=,故S:S:S=λ:λ:λ.
SλλSλλSλλ△AOB△AOC△BOC321
△AOB1112△AOC1113△BOC1123
1
考点三.三角形四心与推论:
(1)O是△ABC的重心:S:S:S=1:1:1⇔OA+OB+OC=0.
△BOC△COA△A0B
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