苏教版（2019）必修第二册《第12课时向量应用》2024年同步练习卷.doc

苏教版（2019）必修第二册《第12课时向量应用》2024年同步练习卷

一、选择题

1．在四边形ABCD中，若+＝0，?＝0，则四边形为（）

A．平行四边形 B．矩形

C．等腰梯形 D．菱形

2．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且，那么（）

A． B． C． D．

3．如图，半径为的扇形AOB的圆心角为120°，点C在上，且∠COB＝30°，若，则λ+μ＝（）

A． B． C． D．

二、填空题

4．在水流速度为4km/h的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8km/h的速度航行，则船实际航行的速度的大小为km/h．

5．已知向量．当实数k＝时，；当实数k＝时，．

三、多选题

（多选）6．已知均为单位向量，它们的夹角为60°，则（）

A．

B．

C．

D．向量的夹角为60°

四、解答题

7．已知＝（cosα，sinα），＝（cosβ，sinβ），（≠）．

求证：（+）⊥（﹣）．

8．已知在梯形ABCD中，AB∥DC，E，F分别是AD，BC的中点，求证：EF∥AB∥DC．

9．已知菱形ABCD的边长为1，，点E为边BC的中点，F为边CD上动点，

（1）求；

（2）当点F使得时，求的值．

10．已知，如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC∥EF，对角线DB与AC交于点O，与EF分别交于点H、G，求证：EH＝GF．

11．已知D、E分别为△ABC边AB、AC的中点，F是线段DE上一点，BF交AC于点C，CF交AB于点H，求的值．

12．如图，已知半圆O的半径为8cm，C，D为半圆的两个三等分点，E，F分别为OA，OB的中点，求的值．

参考答案

一、选择题

1．解：∵+＝，?＝0，

∴，．

∴四边形ABCD是菱形．

故选：D．

2．解：∵，∴，

∵D为BC边中点，

∴，则，

故选：A．

3．解：如图所示，

建立直角坐标系．

∵∠BOC＝30°，OC＝．

∴，

即．

∵∠BOA＝120°，

∴A，

即A．

又B，．

∴＝．

∴，解得．

∴λ+μ＝．

故选：A．

二、填空题

4．解：由题意，如图，表示水流速度，表示船在静水中的速度

则表示船的实际速度．

则||＝4，||＝8，∠AOB＝90°

∴||＝＝，

∴实际速度为km/h．

故答案为：．

5．解：∵，

∴，，

当时，

则6（﹣1﹣3k）＝2（2﹣4k），解得k＝﹣1，

当时，

则6（2﹣4k）+2（﹣1﹣3k）＝10﹣30k＝0，解得k＝．

故答案为：﹣1；．

三、多选题

6．解：由题意得＝＝，

所以＝＝1﹣1＝0，

所以⊥（），A正确；

||＝＝＝＝，B正确；

因为||2＝＝1+1+2×＝3，||2＝＝1﹣2×+1＝1，

故||＝||，C正确；

因为＝﹣＝＝﹣，

||＝＝＝1，

故cosθ＝＝﹣，

故θ＝120°，D错误．

故选：ABC．

四、解答题

7．证明：由题意知两个向量的终点都在单位圆上，在单位圆中设＝，＝，以、为邻边作?OACB，

则OACB为菱形．

∴⊥．

∴?＝0，

∵＝，

∴（）?（）＝0．

∴（）⊥（）．

8．证明：如图，延长EF到点M，使FM＝EF，连接CM，BM，EC，EB，

得四边形ECMB为平行四边形，＝＝（+），

由于AB∥DC，所以，共线且同向，

根据向量基本定理，存在正实数λ，使＝λ，

由三角形法则得＝+＝+，且+＝，

∴＝（+）＝（+++）＝（+）＝，

∴∥，由于，E，D不共点，

∴EF∥AB∥DC．

9．解：（1）

＝；

（2）记，

则，

设，则，

，

，则，

解得，

所以．

10．证明：∵AD∥BC∥EF，

∴由平行线间线段成比例，得到：HF：BC＝DF：DC＝AE：AB＝EG：BC，

∴HF＝EG，

∴EH＝EG﹣HG＝HF﹣HG＝GF．

11．解：如图所示，以B为坐标原点，以BC为x轴正方向建立坐标系，

设C（2a，0），A（2b，2c），则D（b，c），E（a+b，c），

设F点坐标为（t，c），

则直线BG的方程为：y＝x，

直线AC的方程为：y＝（x﹣2a），

联立直线AC与BD的方程可得：x＝（x﹣2a），

解得：x＝，

故＝＝，

同理可得：＝，

∴＝+＝1

12．解：以O为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系：

连接OD，OC，根据已知条件知，|OD|＝|OC|＝8；

∴C，D点坐标为：C（4，），D（﹣4，4）；

又E（﹣4，0），F（4，0）；

∴；

∴．