高中数学新课程创新教学设计案例50篇49一元二次不等式.pdf

49一元二次不等式

教材分析

一元二次不等式的解法是高中数学的一个重要内容，它是进一步学习不等式的基础，同

时是解决有关实际问题的重要方法之一．这节课通过具体例子，借助二次函数的图像求解不

等式，进而归纳、总结出一元二次不等式，一元二次方程与二次函数的关系，得到利用二次

函数图像求解一元二次不等式的方法．最后，说明一元二次不等式可以转化为一元一次不等

式组，由此又引出了简单分式不等式的解法．这节内容的重点是一元二次不等式的解法，难

点是弄清一元二次不等式、一元二次方程与二次函数的关系．

教学目标

1.让学生经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程．

2.通过函数图像了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，熟练掌握应用二次函

数图像解一元二次不等式的方法．

3.通过一元二次不等式转化为一元一次不等式组的解法，让学生体会等价转化的数学

思想，培养学生的逻辑推理能力．

任务分析

这节课的主要任务是应用二次函数的图像解一元二次不等式．首先通过实例抽象出一元

二次不等式模型，让学生感受到现实生活中存在大量的一元二次不等式，从而得出本节的主

要任务．然后通过解决一些具体的一元二次不等式，让学生体会和总结出借助二次函数的图

像解一元二次不等式的方法．最后抽象和概括出一元二次不等式与相应函数、方程的关系．学

习方法是讲练结合，引导学生从具体到一般地总结出一元二次不等式的图像解法．

教学设计

一、问题情境

1.出示问题

（1）某产品的总成本ｃ（万元）与产量ｘ（台）之间满足关系：ｃ＝3000＋20ｘ－0.1

2

ｘ，其中ｘ∈（0，240），ｘ∈Ｎ，若每台产品售价25万元，试求生产者不亏本时的最

低产量ｘ．

引导学生建立一元二次不等式模型：

由题意，得销售收入为25ｘ（万元），

要使生产者不亏本，必须使

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3000＋20ｘ－0.1ｘ≤25ｘ，即ｘ＋50ｘ－30000≥0．

（2）国家为了加强对某特种商品生产的宏观管理，实行征收附加税政策．现知每件产

品70元，不加收附加税时，每年大约产销100万件，若政府征收附加税，每销售100元要

征税R元（即税率为R％），则每年的产销量要减少10R万件．要使每年在此项经营中所

收取的附加税税金不少于112万元，问R应怎样确定．

2.引导学生建立一元二次不等式模型

设产销量为每年x（万件），则销售收入为每年70x（万元），从中征收的税金为70x·R％

（万元），并且ｘ＝100－10R．

由题意，知70（100－10R）R·％≥112，

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即R－10R＋16≤0．

如何求解以上两个一元二次不等式呢？

二、建立模型

2

1.对于不等式ｘ＋50ｘ－30000≥0，可以借助二次函数的图像来解决

2

设二次函数f（ｘ）＝ｘ＋50ｘ－30000，抛物线开口向上，与ｘ轴交点的横坐标是相

2

应二次方程ｘ＋50ｘ－30000＝0的解．此时ｘ＝－200，ｘ＝150．如图，所谓解不等式

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2

ｘ－50ｘ－30000≥0，就相当于求使函数f（ｘ）≥0的ｘ的集合．考虑图像在ｘ轴及其上方

的部分，即f（ｘ）≥0，相应的ｘ的集合｛ｘ｜ｘ≤－200或ｘ≥150｝就是不等式的解集．结

合实际，可知生产者不亏本时的最低产量为150台．

2

运用完全类似的方法，可以求解不等式R－10R＋16≤0的解集为｛R｜2≤R≤8｝．

2.教师明晰

2

设ａ＞0，解一元二次不等式ａx＋ｂｘ＋ｃ＞0（＜0），

2

首先，设ｆ（ｘ）＝ａs＋ｂｘ＋