《从一题多解走向多解归一——以课堂上的一道习题说起》D.docxVIP

你是怎么想的？又是如何解的？还有其它方法吗？

已知A,B两点的坐标分别为，点P是外接圆上的一点，且OP平分,求点P的坐标。

《从一题多解走向多解归一——以课堂上的一道习题说起》

一题多解，可以开阔学生思路、发散学生思维，使学生学会多角度分析和解决问题；而多解归一，可以加深学生对数学原理、通性通法的认识，提高解题技巧与能力．本文拟以课堂上的一道习题谈谈一题多解、多解归一，盼对解题教学有所启示．

通过解法一，容易得出△PAB为等腰直角三角形．原问题就立马转化为下面的直观问题：已知等腰直角三角形斜边的两顶点坐标，求未知的直角顶点坐标．联想到“见等腰直角三角形，造一线三直角”，会产生以下几种解决方案：

前面的解法中，面临的问题实质是：已知等腰直角三角形斜边的两顶点坐标，求直角顶点的坐标．这种问题都可以通过以下两种方法转化为直角顶点已知的问题，相对而言，后者的计算量更小．

既然可以倍长AP，同理也可以倍长BP来解决问题，不再赘述，请自行研究．

解法四通过倍长直角边，将直角顶点未知的问题转化为直角顶点已知的问题，这是一种常用的转化手法，相当于将原等腰直角三角形“放大化处理”．既然可以“放大”，应该也可“缩小”，即为解法五．

这里也可以利用等腰Rt△PMB来解决问题，不再赘述．

一放一缩巧转化，殊途同归妙解题．转化无处不在，没有转化，就没有数学．

见等腰直角三角形，除了可以构造一线三直角，旋转法也是一种常见的处理策略.

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题中已有一个等腰Rt△PBA，解法六以点P为直角顶点，再构造一个等腰Rt△POQ，这个结构不妨称为“共直角顶点的双等腰直角三角形模型”，是一种重要的辅助线，其本质就是旋转．

既然可以绕点P按逆时针方向旋转90°，当然也可以绕点P按顺时针方向旋转90°来解决问题，不再赘述，请自行探究．

借助确定性思想，我们又会寻找到一些确定的三角形，既然是确定的，必然是可解的．解三角形也是一种常见的处理方法，请看下面的两种解法．

解法八：如图1－8，连接AP，设OP与AB交于点R，同前分析，易知△BOR确定（ASA），可求出OR的长；同理△PAR确定，可求出PR的长，于是OP＝OR＋PR可求，下略．

????图1－8中包含着极其丰富的几何内涵，如三角形内角平分线性质定理、圆中相似基本型、相交弦定理等，有兴趣可以自行探索新的解法．

勾股定理是计算边长的主要方法，除此之外，相似三角形也是常用的解题方法.下面再提供两种相似的处理手段.

解法十的计算量偏大，方法较繁琐，甚至于最后还会涉及双重根式的化简，对运算能力要求过高.笔者结合此法，又想到了一种优化方案，即为解法十一.

学习、解题就是如此有趣，不经意间，你可能就会有所顿悟，寻找到一种靓丽并为之惊叹的方法.

在平面直角坐标系中，除了上面常见的几何解法外，还经常可以考虑一些解析方法，请看最后的几种解法.

解法十二抓住了圆的本质特征，即圆上各点到圆心的距离始终等于半径的长，借助设坐标法，再利用两点间距离公式（即勾股定理）列方程求解.这个解法的实质就是求直线OP与圆的交点坐标.

此外，还可以将点P视为两直线的交点，采取求交点坐标的方法求解，即为下面的两种解法.

想要避免超纲之嫌，依然可以通过导角，借助相似比或三角比，求出直线MN与坐标轴交点的方式进行．

3?解后反思

3.1?等腰直角三角形问题的常见解题策略

3.1.1?见等腰直角三角形，造三垂直结构

等腰直角三角形是三角形家族中的一类特殊成员，也是中考重要的命题载体.构造一线三直角是解决其存在性问题的一种重要策略，如本文的解法一至解法五.

如图2－1，先过等腰直角三角形的直角顶点作一条水平线或者竖直线，然后过另外两个顶点向其作竖直垂线或者水平垂线，构造出的四个阴影直角三角形均全等.选择其中任意两个，即为一种解法，它们是“一伙的”.其中有些搭配不能再简称为“一线三直角”，笔者更愿意称其为“三垂直结构”.

事实上，只要过直角顶点任意作一条直线，再由另两个顶点向其作垂线，如图2－2，阴影的两个三角形依然全等，对应解法三.

“见等腰直角三角形，构造三垂直结构”，相对而言，直角顶点已知的情形比未知情形简单的多.前者可直接口算，而后者需设元，借助方程解决问题.在直角顶点未知的前提下，可采取适当的手段转化为已知情形：

如图2－3，可称“倍长法”，对应解法四；

而图2－4，可称“半缩法”，对应解法五.

45°是一个美妙的角，联想是基本的解题技巧.当我们遇到美妙的45°角时，自然联想到构造等腰直角三角形.

如图2－5，已知∠ABC＝45°，其中A、B为已知点，点C未知.

这时有四种构造方式，如图2－6所示，其中等腰Rt△ABD2是最佳的处理策略，缘自此时的直角顶点已知，优于其他的直角顶点未知，然后依托这个