二项式系数的性质导学案-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册.docxVIP

4.2二项式系数的性质

【学习目标】

1.理解和掌握二项式系数的性质,并会简单应用.

2.理解和初步掌握赋值法及其应用.

3.通过学习,培养学生逻辑推理、数学运算的核心素养.

◆知识点一二项式系数表

1.从第一项起至中间项,二项式系数逐渐,随后又逐渐.?

2.表中每行两端都是1,而且除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数之.?

【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)

(1)二项式系数表中第r行共有r+1项. ()

(2)第m行斜列中(从右上到左下)前k个数的和等于第m+1行斜列中第k个数. ()

◆知识点二二项式系数的性质

1.对称性

在(a+b)n的展开式中,与的两个二项式系数相等,即Cn0=Cnn,Cn1=C

2.增减性与最大值

当kn+12时,Cnk随k的增大而;由对称性知,二项式系数的后半部分,Cnk随k的增大而.当n是偶数时,中间的一项取得最大值;当n是奇数时,中间的两项

3.各二项式系数的和

①Cn0+Cn1+Cn2+

②Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn1+C

【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)

(1)二项展开式的二项式系数的和为Cn1+Cn2+…+Cn

(2)二项展开式中系数最大的项与二项式系数最大的项一定相同. ()

(3)在(1+2x)9的展开式中二项式系数最大的项是第5项和第6项. ()

(4)在(1-x)9的展开式中系数最大的项是第5项和第6项. ()

◆探究点一杨辉三角

例1如图所示,在由二项式系数构成的杨辉三角中,第m(m15)行中从左至右第14个数与第15个数的比为2∶3,则m= ()

A.40 B.50 C.34 D.32

变式我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》中给出了著名的杨辉三角,如图,由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.以下关于杨辉三角的猜想中错误的是 ()

A.由“与首末两端‘等距离’的两个二项式系数相等”猜想:Cnm

B.由“在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想:Cn+1r=

C.由“第n行所有数之和为2n”猜想:Cn0+Cn1+Cn2+

D.由“111=11,112=121,113=1331”猜想:115=15101051

[素养小结]

研究杨辉三角的性质,实质上是研究二项展开式的二项式系数(即组合数)的性质,求解这类题一般要观察、猜想、归纳杨辉三角横向、竖向、斜向的各个数之间的关系.

◆探究点二二项式系数和、各项系数和

例2设(1-2x)2022=a0+a1x+a2x2+…+a2022x2022(x∈R).

(1)求a0+a1+a2+…+a2022的值;

(2)求a1+a3+a5+…+a2021的值;

(3)求a2+a4+a6+…+a2022的值;

(4)求|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2022|的值.

变式(1)已知(1+2x)n的展开式中二项式系数之和为32,则各项系数之和为.?

(2)(多选题)若x5=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a5(x-1)5,其中a0,a1,a2,…,a5为实数,则 ()

A.a0=1

B.a2=a3

C.a1+a2+…+a5=31

D.a1-a2+a3-a4+a5=-1

[素养小结]

赋值法是解决二项展开式中项的系数和问题的常用方法.一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1),奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=f(1)+f(-1)2,偶数项系数之和为a1

◆探究点三二项式的最值问题

例3在x-

(1)求二项式系数最大的项;

(2)系数的绝对值最大的项是第几项?

变式已知(2x-1)n的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等,求x-

(1)所有二项式系数之和;

(2)系数绝对值最大的项.

[素养小结]

(1)根据二项式系数的性质可知,当n为奇数时,中间两项的二项式系数最大;当n为偶数时,中间一项的二项式系数最大.

(2)求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的.求展开式中系数最大的项,一般采用列不等式(组),解不等式(组)的方法求解.一般地,如果第r+1项的系数最大,则与之相邻的两项(第r项、第r+2项)的系数均不大于第r+1项的系数,由此列不等式组可确定r的范围,再依据r∈N*来确定r的值,即可求出系数最大的项.

4.2二项式系数的性质

【课前预习】

知识点一

1.增大减小2.和

诊断分析(1)√(2)√

知识点二

1.首末两端“等距离”2.增大减小Cn