用向量方法研究立体几何中的位置关系+第1课时用向量方法研究立体几何中的平行关系导学案 高二上学期北师大版（2019）选择性必修第一册.docxVIP

4.2用向量方法研究立体几何中的位置关系

第1课时用向量方法研究立体几何中的平行关系

【学习目标】

1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.

2.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面平行的判定定理.

◆知识点用空间向量描述空间线面的平行

关系

设不重合的直线l1,l2的方向向量分别为u1,u2,不重合的平面α,β的法向量分别为n1,n2,则

平行关系

对应线面

图形

满足条件

线线

平行

l1与l2

l1∥l2???λ∈R,u1=?

(续表)

平行关系

对应线面

图形

满足条件

线面平行

l1与α(l1?α)

l1∥α??u1·n1=?

面面平行

α与β

α∥β???λ∈R,n1=?

【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)

(1)若两条直线平行,则它们的方向向量的方向相同或相反. ()

(2)若一条直线的方向向量与一个平面的法向量垂直,则该直线与平面平行. ()

(3)若两条不同的直线l1,l2的方向向量分别为a=(3,1,-2),b=(-6,-2,4),则l1∥l2. ()

(4)若两个平面平行,则这两个平面的法向量一定平行. ()

◆探究点一空间向量与平行关系

例1(1)设直线l的方向向量为a,平面α的法向量为b,若a·b=0,则 ()

A.l∥α B.l?α

C.l⊥α D.l?α或l∥α

(2)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,M,N分别为A1B,AC的中点,

则MN与平面BB1C1C的位置关系是 ()

A.相交

B.平行

C.垂直

D.不能确定

(3)若直线l的一个方向向量为m,平面α的一个法向量为n,则可能使l∥α的是 ()

A.m=(1,0,0),n=(-2,0,0)

B.m=(0,2,1),n=(-1,0,1)

C.m=(1,-1,3),n=(0,3,1)

D.m=(1,2,3),n=(1,0,1)

变式(1)已知直线l的方向向量e=(1,-2,-2),平面α的法向量n=(2,λ,-1).若l∥α,则λ=.?

(2)若平面α的一个法向量为m=-16,13,-1,平面β的一个法向量为n=12

[素养小结]

利用空间向量判断立体几何中的平行关系的解题思路.

(1)判断两直线平行:找到两直线的方向向量a,b,判断是否存在实数λ,使得b=λa.

(2)判断线面平行:找到直线的方向向量a和平面的法向量b,判断这两个向量是否垂直,即判断a·b是否为0.

(3)判断面面平行:找到两个平面的法向量i,j,判断这两个向量是否平行,即判断是否存在实数λ,使得i=λj.

◆探究点二利用空间向量证明平行关系

例2如图所示,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,DD1的中点.

(1)求证:FC1∥平面ADE;

(2)求证:平面ADE∥平面B1C1F.

变式如图,已知点P是正方形ABCD所在平面外一点,点M,N分别是PA和BD上的点,且PM∶MA=BN∶ND=5∶8.求证:直线MN∥平面PBC.

[素养小结]

空间平行关系的解题策略

几何法

向量法

线线

平行

对于直线l,m,n和平面α,β,

(1)若l∥m,l∥n,则m∥n;

(2)若l⊥α,m⊥α,则l∥m;

(3)若l∥α,l?β,α∩β=m,则l∥m

若直线l,m的方向向量共线,则l∥m

线面

平行

对于直线m,n和平面α,

(1)若m⊥α,m⊥n,n?α,则n∥α;

(2)若m?α,n?α,m∥n,则m∥α

若直线l的方向向量与平面α的法向量垂直且l?α,则l∥α

面面

平行

对于直线l,m和平面α,β,

(1)若l?α,m?α,l∥β,m∥β,且l∩m=A,则α∥β;

(2)若l⊥α,l⊥β,则α∥β

若平面α,β的法向量共线,则α∥β

拓展如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1=A1C1,F为B1C1的中点,D,E分别是棱BC,CC1上的点,且AD⊥BC.

(1)求证:直线A1F∥平面ADE.

(2)若△ABC是正三角形,E为C1C的中点,能否在棱B1B上找到一点N,使得A1N∥平面ADE?若存在,确定该点的位置;若不存在,请说明理由.

4.2用向量方法研究立体几何中的位置关系

第1课时用向量方法研究立体几何中的平行关系

【课前预习】

知识点

u1∥u2λu2u1⊥n10n1∥n2λn2

诊断分析(1)√(2)×(3)√(4)√

【课中探究】

例1(1)D(2)B(3)C[解析](1)∵a·b=0,∴l?α或l∥α.

(2)如图所示,以C1为原点,C1B1,C1D1,C1C所在直线分别为x轴,y轴,