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2010-2023历年河北省唐山一中高三上学期期中考试理科数学试卷（带解析）

第1卷

一.参考题库(共10题)

1.如图所示，扇形AOB,圆心角AOB的大小等于，半径为2，在半径OA上有一动点C，过点C作平行于OB的直线交弧AB于点P.

（1）若C是半径OA的中点，求线段PC的长；

（2）设,求面积的最大值及此时的值.

2.已知平面向量的夹角为且，在中，，，为中点，则(???)

A．2

B．4

C．6

D．8

3.已知双曲线?的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为，则此双曲线的方程为（???）

A．

B．

C．

D．

4.已知函数f（x）=alnx+（a≠0）在（0，）内有极值．

（I）求实数a的取值范围；

（II）若x1∈（0，），x2∈（2，+∞）且a∈[，2]时，求证：f（x1）﹣f（x2）≥ln2+．

5.若函数的图象在处的切线与圆相切，则的最大值是（????）

A．4

B．

C．2

D．

6.如果直线和函数的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆的内部或圆上，那么的取值范围__________.

7.如图，四边形PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2．又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°．

（1）求证：PC⊥AC；

（2）求二面角M﹣AC﹣B的余弦值；

（3）求点B到平面MAC的距离．

8.已知函数.

（1）若的解集为，求实数的值.

（2）当且时，解关于的不等式.

9.已知定义在R上的函数对任意的都满足，当时，，若函数至少6个零点，则取值范围是（?????）

A．

B．

C．

D．

10.过点的直线与圆截得的弦长为，则该直线的方程为?????????????.

第1卷参考答案

一.参考题库

1.参考答案：（1）；（2）时，取得最大值为.试题分析：本题考查解三角形中正弦定理、余弦定理的应用，三角形面积公式以及运用三角公式进行恒等变形，考查学生的分析能力和计算能力.第一问，在中，，，由余弦定理求边长；第二问，在中，利用正弦定理，得到，，三角形面积公式，将上面2个边长代入，利用二倍角公式、降幂公式、两角和与差的正弦公式化简表达式，再求三角函数的最值.

试题解析：（1）在中，，，由，

得，解得.

（2）∵，∴，

在中，由正弦定理得，即，

∴，又，.

记的面积为，则

∴时，取得最大值为.

考点：1.余弦定理；2.正弦定理；3.二倍角公式；4.降幂公式；5.两角和与差的正弦公式.

2.参考答案：A试题分析：，

而，

∴.

考点：1.向量的数量积定义；2.平行四边形法则；3.求模公式.

3.参考答案：C试题分析：由题意可知，，∴，则①，由条件得，在上，即②，由①②得，∴双曲线为.

考点：1.双曲线的渐近线方程；2.圆的半径.

4.参考答案：（1）；（2）证明过程详见解析.试题分析：本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性及最值、不等式等基础知识，考查函数思想，突出考查综合运用数学知识和方法分析问题解决问题的能力.第一问，先对求导，由函数定义域可知，的分母为正数，设的分子为新函数，判断，所以或，解得的取值范围；第二问，对求导，令，设出方程的两根，利用韦达定理得到两根之和、两根之积，判断导函数的正负，决定函数的单调性，求出最大值和最小值，代入求证的式子的左边，化简，得到，再求函数的最小值，通过不等式的传递性得到求证的表达式.

试题解析：（I）由（），得：，

∵a≠0，令，∴．

令或，?则．

(II）由（I）得：，

设（）的两根为，

则，得．

当和时，，函数f（x）单调递增；

当和时，，函数f（x）单调递减，

则，，

则

==（利用）

令，则，

则函数单调递增，，

∴，

∵，则，

∴．

考点：1.二次函数的性质；2.零点问题；3.利用导数判断函数的单调区间；4.利用导数判断函数的最值；5.不等式的性质.

5.参考答案：D试题分析：，，又∵，∴切线方程为，∵切线与圆相切，∴圆心到切线的距离等于半径1，即，∴，即，

而.

考点：1.用导数求切线方程；2.点到直线的距离；3.均值定理.

6.参考答案：试题分析：由题意可知,定点为，所以，即，因为定点始终落在圆的内部或圆上，所以，即，

由，得或，所以.

考点：点和圆的位置关系.

7.参考答案：（1）证明过程详见解析；（2）二面角的余弦值为；（3）.试题分析：本题考查空间两条直线的位置关系、二面角、点到平面的距离等基础知识，考查运用传统几何法，也可以运用空间向量法求解，突出考查空间想象能力和计算能力.第一问，根据线面平行的判定定理得到平面，所以垂直于面内的任意线；第二问，法一：先找出二面角的平面角，取的中点，因为，所以，由三垂线定理得，所以得到二面角的平面角为，由已知得，在中用余弦定理求，在