普通高校专升本高等数学解答题专项强化真题试卷12(题后含答案及解析).pdf

普通高校专升本高等数学解答题专项强化真题试卷12(题后含答案

及解析)

题型有：1.

1．设函数f(χ)＝，(1)求曲线y＝f(χ)上相应于0≤χ≤1的弧

段长度s；(2)求由曲线y＝f(χ)和直线χ＝0，χ＝1及y＝0围成的平面图

形绕z轴旋转而成的旋转体的体积Vχ．

正确答案：(2)平面图形如

图所示，故

2．计算曲线积(2x—y+4)dx+(5y+3x一6)dy，其中L为三顶点分别为(0，

0)、(3，0)和(3，2)的三角形的正向边界．

正确答案：由格林公式得

3．求幂级数的和函数.

正确答案：，收敛半径R=3，当x=3时，级数

收敛，当x=一3时，级数发散，故收敛域为(一3，3]．令

=ln3一ln(3+x)，x∈(一3，3]

4．将函数f(x)=展开成麦克劳林级数．

正确答案：

5．设函数z=(x2+y2，ysinx)，f有二阶连续偏导数，求

正确答案：

6．求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积．

正确答案：设长方体的长宽高分别为x，y，z，则其表面积为2(xy+xz+yz)=a2

①，而所求体积V=xyz②，题中即为求体积V在条件①下的最值，构造拉格朗

日函数，L=xyz-λ(2xy+2xz+2yz-a2)，

由于实际问题，最大值一

定存在，故当长方体为棱长为a的正方体时，其体积最大，最大体积

Vmax=a3．

7．求不定积分

正确答案：令x=tant,，dx=sec22dt原式=sec2tdt=∫

tan2tdsect=∫(sec2t-1)dsect=sec2t-sect+C=

8．求微分方程x2dy+(2xy-x+1)dx=0的通解．

正确答案：微分方程x2dy+(2xy-x+1)ax=0可化为x2dy+2xydx+(1-x)ax=0，即

d(x2y)+(1-x)dx=0，即d(x2y)=(x-1)dx=d[(x-1)2]，所以原微分方程的通解为

x2y=(x-1)+C，即y=

9．设y=e-xsinx，求y’’．

正确答案：y’=e-x(一x)’sinx+e-xcosx=e-x(cosx—sinx)y’’=e-x(cosx—

sinx)+e-x(一sinx—cosx)=e-x[ecosx+sinx+sinx+cosx]=-2e-xcosx

10．已知

正确答案：因y=，则在两边取自然对数得

lny=2lnx+ln(1-x)-ln(1+x)，两边对x求导得，所以

得

y’=y.

11．设y=f(x)是由方程exy+ylnx=sin2x确定的隐函数，求

正确答案：方法一方程两边同时对x求导，得exy(y+xy’)++y’lnx=2cos2x，

则y’=方法二令F(x，y)=exy+ylnx-sin2x，则(x，

y)=yexy+-2cos2x，(x，y)=xexy+lnx，从而y’=

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