《三角恒等变换》教学案.pdf

《三角恒等变换》教学案

1

第课时两角和与差的余弦

教学过程

一、问题情境[1]

a(b+c)=ab+aca·(b+c)=ab+a·c·

在实数运算中，有公式；在向量运算中，有公式；在三

角运算中，有公式cos(α-β)=cosα-cosβ吗？如果没有，式子一定不成立吗？

二、数学建构

1xOyOxαβ(0≤β≤α≤π)

问题在直角坐标系中，以为始边分别作角，，其终边分别与单

PP·[2]

位圆交于，，则向量，的夹角是多少？的值是多少？

12

(1)

图

1α-β=(cosαsinα)=(cosβsinβ).

由图可得向量，的夹角是，，，，

一方面，由向量数量积的定义，有·=||·||cos(α-β)=cos(α-β).

另一方面，由向量数量积的坐标表示，有·=cosαcosβ+sinαsinβ.

从而cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ，0≤β≤α≤π.

2αβR[3]

问题如果，∈，上述公式还成立吗？

α-β[0π]α-βcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

当∈，时，就是，的夹角，所以

=β+2kπβ

αβkα-β-2kπ[-ππ).β，则β

对于任意的，，总可选适当的整数，使∈，记与的

11

α-β[-ππ)|α-β|≤π|α-β|.cos(|α-

终边相同，且∈，，从而，就是，的夹角因此

111

β

|)=cos(α-β)=cos(α-β-2kπ)=cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

11

综上，cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ，这就是两角差的余弦公式，记为C.

α-β