方程的求根公式.pdfVIP

方程的求根公式--第1页

方程的求根公式

一元二次方程的回顾和启示

学过初中数学都知道对于任何一个实系数一元二次方程

ax^2+bx+c=0,~a

eq0，通过配方可以得到

，根据判别

式的符号，可以判断方程实根的个数，并且可以得到求

根公式。

要么是2个不同的实根，要么是1个二重实根

，要么是1对共轭虚根；计算重数的情况下都是2

个根。

记两根为

4ac}}{2a}\

可以直接验证韦达定理：

两根之和以及两根之积

，判别式

求根公式看上去复杂，但如果把上述两式代入求根公式，就可以得到

。

方程的求根公式--第1页

方程的求根公式--第2页

注：如果x_1,~x_2是共轭虚根，x_1-x_2就是纯虚数，对负数

开方不能得到

x_2|}{2}.

几何意义：记是两根的平

均值，乘积为如果x_1,~x_2都是实根，则

是根到平均值的距离。

求根公式就可以改写成

两根到平均值s的距离还可以通过下列

方式得到：

不妨设x_1=s+d,~x_2=s-d，用平方差公式得到

(s+d)(s-d)=s^2-d^2=p，立即可以算出

可以看到在实根的情况下是实数轴上两根的

中点，而是两根到中点的距离。

如果，

和

是共轭虚根，绝对值（长度）相等

在复平面上是z_1和z_2连线的中点（在实轴上），刚

好对应由z_1和z_2作为两邻边的菱形对角线的交点，是菱形水平方向

对角线的一半，而

是中点到两根的有向距离，是菱形竖直方向对角线的一半。

方程的求根公式--第2页

方程的求根公式--第3页

如果考虑一般的复系数一元二次方程呢？任何两个复数z_1和z_2都

可能是方程的两根，因为由韦达定理可以构造出

z^2-(z_1+z_2)z+z_1z_2=0\

所以就是两根连线的中点，但不一定在实轴

上，以z_1和z_2为邻边构成的是一个更一般的平行四边形，s是对

角线的交点，是其中一条对角线的一半，而

是交点到两根的有向距离，是另外一条对角线的一半。

一元三次方程根的构造

对于实系数一元三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0,~a

eq0