一元线性回归模型及参数的最小二乘估计高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册.pptxVIP

8.2.1一元线性回归模型

及参数的最小二乘估计

问题1：生活经验告诉我们，儿子的身高与父亲的身高相关.一般来说，父亲的身高较高时，儿子的身高通常也较高.为了进一步研究两者之间的关系，有人调查了14名男大学生的身高及其父亲的身高，得到的数据如表1所示.

编号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

父亲身高/cm

174

170

173

169

182

172

180

172

168

166

182

173

164

180

儿子身高/cm

176

176

170

170

185

176

178

174

170

168

178

172

165

182

探究新知

思考1：根据表中的数据，儿子身高和父亲身高这两个变量之间的关系可以用函数模型刻画吗？

儿子身高不是父亲身高的函数

思考1：根据表中的数据，儿子身高和父亲身高这两个变量之间的关系可以用函数模型刻画吗？

编号

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父亲身高/cm

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儿子身高/cm

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思考1：根据表中的数据，儿子身高和父亲身高这两个变量之间的关系可以用函数模型刻画吗？

编号

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父亲身高/cm

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儿子身高/cm

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170

168

178

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父亲身高不是儿子身高的函数

思考2：经过刚才的分析，你觉得儿子身高与父亲身高的关系是怎样的？

儿子身高与父亲身高不是函数关系，而是相关关系.

追问：儿子身高与父亲身高的关系是正相关还是负相关？是线性相关还是曲线相关？

随着父亲身高的增加，儿子身高呈增加的趋势，所以是正相关.

通过计算得到样本相关系数r≈0.886.

儿子身高与父亲身高呈正线性相关关系

母亲身高

饮食习惯

体育锻炼

测量误差

……

①可取正或取负

②有些无法测量

③不可事先设定

误差观测值

因为误差是随机的，即取各种正负误差的可能性一样，所以它们均值的理想状态应该为0.

思考5：你能否考虑到上述随机因素的作用，用类似于函数的表达式，表达儿子身高与父亲身高的关系吗？

模型理解

它们的均值为：

即该子总体的均值与父亲的身高是线性函数关系

它仅是该子总体的一个观测值，这个观测值与均值有一个误差项。

(1)除父亲身高外，其他可能影响儿子身高的因素,比如母亲身高、生活环境、饮食习惯和锻炼时间等.

(2)在测量儿子身高时，由于测量工具、测量精度所产生的测量误差.

(3)实际问题中,我们不知道儿子身高和父亲身高的相关关系是什么，可以利用一元线性回归模型来近似这种关系,这种近似关系也是产生随机误差e的原因.

【思考】你能结合具体实例解释产生模型（1）中随机误差项的原因吗?

思考：一元线性回归模型有何用？

参数含义

父亲身高每增加1厘米，儿子身高的均值增加0.839厘米.

【例1】判断下列变量间哪些能用函数模型刻画，哪些能用回归模型刻画？

(1)某公司的销售收入和广告支出；

(2)某城市写字楼的出租率和每平米月租金；

(3)航空公司的顾客投诉次数和航班正点率；

(4)某地区的人均消费水平和人均国内生产总值(GDP)；

(5)学生期末考试成绩和考前用于复习的时间；

(6)一辆汽车在某段路程中的行驶速度和行驶时间；

(7)正方形的面积与周长.

典例分析

(1)(2)(3)(4)(5)回归模型，(6)(7)函数模型.

思考1：从成对样本数据出发，如何用数学的方法刻画“从整体上看，各散点与直线最接近”？

思考：如何求a,b的值，使最小？

儿子的身高不一定会是177cm，这是因为还有其他影响儿子身高的因素，回归模型中的随机误差清楚地表达了这种影响，父亲的身高不能完全决定儿子的身高，不过，我们可以作出推测，当父亲的身高为176cm时，儿子身高一般在177cm左右.

英国著名统计学家高尔顿把这种后代的身高像中间值靠近的趋势称为“回归现象”.后来，人们把由一个变量的变化去推测另一个变量的变化的方法称为回归分析.

【例2】某种产品的广告费支出x(单位：百万元)与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据：

x

2

4

5