山东省齐鲁名师联盟2025届高三上学期第一次诊断考试 数学试题（含解析）.docx

山东省齐鲁名师联盟2025届高三上学期第一次诊断考试数学试题

一、单选题（本大题共8小题）

1．若集合，，，则（????）

A． B． C． D．

2．函数在区间上的最大值是（????）

A．－9 B．－16 C．16 D．9

3．若正数，满足，则的最小值为（????）

A．2 B． C．3 D．

4．从数字中随机取一个数字，取到的数字为，再从数字中随取一个数字，则第二次取到数字2的概率为（????）

A． B． C． D．

5．小明将1，4，0，3，2，2这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的银行卡密码，若两个2之间只有一个数字，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为（????）

A．48 B．32 C．24 D．16

6．令，则当时，a除以15所得余数为（????）

A．4 B．1 C．2 D．0

7．不等式恒成立，则实数的最大值为（????）

A． B． C．1 D．2

8．已知函数没有极值点，则的最大值为（????）

A． B． C． D．

二、多选题（本大题共3小题）

9．数学中蕴含着无穷无尽的美，尤以对称美最为直观和显著.回文数是对称美的一种体现，它是从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3443，94249等，显然两位回文数有9个：11，22，33，…，99；三位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999.下列说法正确的是（????）

A．四位回文数有45个 B．四位回文数有90个

C．（）位回文数有个 D．（）位回文数有个

10．已知为随机试验的样本空间，事件A，B满足，，则下列说法正确的是（????）

A．若，且，，则

B．若，且，，则

C．若，，则

D．若，，，则

11．已知函数是的导函数，则（????）

A．“”是“为奇函数”的充要条件

B．“”是“为增函数”的充要条件

C．若不等式的解集为且，则的极小值为

D．若是方程的两个不同的根，且，则或

三、填空题（本大题共3小题）

12．已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为.

13．已知函数（其中且），若存在，使得，则实数a的取值范围是．

14．切比雪夫不等式是19世纪俄国数学家切比雪夫（1821.5~1894.12）在研究统计规律时发现的，其内容是：对于任一随机变量，若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数，有.根据该不等式可以对事件的概率作出估计.在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列，现连续发射信号次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号“1”的次数为随机变量，为了至少有的把握使发射信号“1”的频率在区间内，估计信号发射次数的值至少为.

四、解答题（本大题共5小题）

15．设函数，其中.

(1)若命题“”为假命题，求实数的取值范围；

(2)若函数在区间内恒成立，求实数的取值范围.

16．已知函数.

(1)求函数的单调区间和极值；

(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.

17．某校举行篮球比赛，规则如下：甲、乙每人投3球，进球多的一方获得胜利，胜利1次，则获得一个积分，平局或者输方不得分.已知甲和乙每次进球的概率分别是和，且每人进球与否互不影响.

(1)若，求乙在一轮比赛中获得一个积分的概率；

(2)若，且每轮比赛互不影响，乙要想至少获得3个积分且每轮比赛至少要超甲2个球，从数学期望的角度分析，理论上至少要进行多少轮比赛？

18．已知函数．

(1)在定义域内单调递减，求的范围；

(2)讨论函数在定义域内的极值点的个数；

(3)若函数在处取得极值，恒成立，求实数的取值范围．

19．在信息理论中，和是两个取值相同的离散型随机变量，分布列分别为：，，，，，．定义随机变量的信息量，和的“距离”．

(1)若，求；

(2)已知发报台发出信号为0和1，接收台收到信号只有0和1．现发报台发出信号为0的概率为，由于通信信号受到干扰，发出信号0接收台收到信号为0的概率为，发出信号1接收台收到信号为1的概率为．

（ⅰ）若接收台收到信号为0，求发报台发出信号为0的概率；（用，表示结果）

（ⅱ）记随机变量和分别为发出信号和收到信号，证明：．

参考答案

1．【答案】C

【分析】将集合变形，再根据集合间的关系及并集和交集的定义即可得解.

【详解】因为，

所以，且.

故选C.

2．【答案】C

【分析】根据题意，求导可得的极值，从而得到结果.

【详解】因为，令，解得，

当时，，即单调递增，

当时，，即单调递减，

所以在时取得极大值，即最大值，

所以在区间上的最大值是.

故选C.

3．【答案】B

【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得.

【详解】由正数，满足，

得，

当且仅当，即，时取等号，

所以的最小值为．

故选B.

4．【答案】A