陕西省西安高新第一中学2024-2025学年高三上学期开学考试 数学试题（含解析）.docx

2025届高三数学

一?单选题：本题共8小题，每小题5份，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1.已知集合，则（）

A.B.C.D.

2.的虚部为（）

A.-1B.C.-2D.

3.在中，则（）

A.B.

C.D.

4.若，则（）

A.100B.110C.120D.130

5.我国南宋时期杰出的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，其内容为：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.”把以上文字写成公式，即（其中为面积，为的三个内角所对的边）.若，且，则利用“三斜求积”公式可得的面积（）

A.B.C.D.

6.如图，在直三棱柱中，，点分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）

A.B.C.D.

7.已知双曲线的右焦点为，动点在直线上，线段交于点，过作的垂线，垂足为，则的值为（）

A.B.C.D.

8.设，则（）

A.B.

C.D.

二?多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知甲乙两人进行射击训练，两人各试射5次，具体命中环数如下表（最高环数为10.0环），从甲试射命中的环数中任取3个，设事件A表示“至多1个超过平均环数”，事件表示“恰有2个超过平均环数”，则下列说法正确的是（）

人员

甲

乙

命中环数

9.0

9.8

9.0

9.2

9.5

9.3

9.5

9.2

9.1

9.4

A.甲试射命中环数的平均数小于乙试射命中环数的平均数

B.甲试射命中环数的方差大于乙试射命中环数的方差

C.乙试射命中环数的的分位数是9.2

D.事件互为对立事件

10.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）

A.

B.函数的图象关于点对称

C.函数在区间上单调递减

D.将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，若函数在区间上有且仅有两个零点和两个极值点，则

11.设是等比数列的前项和，为的公比，则（）

A.为等比数列

B.为等比数列

C.若，则存在使得

D.若存在使得，则

三?填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知函数（是的导函数），则曲线在处的切线方程为__________.

13.已知实数，且，则的最小值是__________.

14.已知椭圆的左?右焦点为，点A在椭圆上，分别延长，交椭圆于点，且，则线段的长为__________，椭圆的离心率为__________.

四?解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤.

15.（本题13分）的内角的对边分别为，已知.

（1）求角A的值；

（2）若的面积为，求.

16.（本题15分）某市为提升中学生的环境保护意识，举办了一次“环境保护知识竞赛”，分预赛和复赛两个环节，预赛成绩排名前三百名的学生参加复赛.已知共有12000名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本，得到频率分布直方图如图：

（1）规定预赛成绩不低于80分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人，求至少有1人预赛成绩优良的概率，并求预赛成绩优良的人数的分布列及数学期望；

（2）由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且，已知小明的预赛成绩为91分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加复赛？

附：若，则，.

17.（本题15分）如图，已知在圆柱中，是底面圆上的三个点，且线段为圆的直径，为圆柱上底面上的两点，且矩形平面分别是的中点.

（1）证明：平面.

（2）若是等腰直角三角形，且平面，求平面与平面的夹角的正弦值.

18.（本题17分）已知抛物线的焦点为，直线与交于两点，.

（1）求的方程；

（2）过作的两条切线交于点，设分别是线段上的点，且直线与相切，求证：.

19.（本题17分）已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数的最小值为，不等式在上恒成立，求实数的取值范围.

2025届高三数学参考答案

一?单选题：本题共8小题，每小题5份，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1.A【详解】因为，且，所以.

2.C【详解】，虚部为-2.故选：C.

3.C【详解】因为，所以为线段上靠近的三等分点，