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平面向量知识点归纳

一、平面向量的基本概念

1、向量的定义

既有大小又有方向的量叫做向量。物理学中又叫做矢量。

2、向量的表示

（1）几何表示：用有向线段表示向量，有向线段的长度表示向量

的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。

（2）字母表示：通常在印刷时用黑体小写字母a、b、c等来表示

向量，手写时可写成带箭头的小写字母。

3、向量的模

向量的大小叫做向量的模，记作或。

4、零向量

长度为0的向量叫做零向量，记作。零向量的方向是任意的。

5、单位向量

长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量。

6、平行向量（共线向量）

方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量。规定：

零向量与任意向量平行。

7、相等向量

长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

8、相反向量

长度相等且方向相反的向量叫做相反向量。

二、平面向量的线性运算

1、向量的加法

（1）三角形法则：已知非零向量、，在平面内任取一点A，

作，，则向量叫做与的和，记作，即。

（2）平行四边形法则：已知两个不共线的向量、，作，，以、

为邻边作平行四边形ABCD，则对角线上的向量就是与的和。

（3）运算性质：交换律；结合律。

2、向量的减法

（1）三角形法则：已知非零向量、，在平面内任取一点O，

作，，则向量叫做与的差，记作，即。

（2）几何意义：可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向

量。

3、向量的数乘

（1）定义：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方

向规定如下：

①；

②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；

当时，。

（2）运算律：结合律；分配律，。

三、平面向量的基本定理及坐标表示

1、平面向量基本定理

如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的

任意向量，有且只有一对实数、，使。

2、平面向量的坐标表示

在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向

量、作为基底，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数x、y，

使得，则有序数对叫做向量的坐标，记作，其中x叫做在x轴上

的坐标，y叫做在y轴上的坐标。

3、平面向量的坐标运算

（1）若，，则，。

（2）若，则。

（3）若，则。

四、平面向量的数量积

1、定义

已知两个非零向量、，它们的夹角为，则数量叫做与的数量

积（或内积），记作，即。规定：零向量与任一向量的数量积为0。

2、几何意义

数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积。

3、性质

（1）。

（2）当与同向时，；当与反向时，；特别地，。

（3）。

4、运算律

（1）交换律：。

（2）分配律：。

（3）结合律：（为实数）。

5、坐标表示

若，，则。

五、平面向量的应用

1、在平面几何中的应用

（1）证明线段平行或相等：通过向量的线性运算或数量积运算，

证明向量共线或垂直，从而得出线段平行或相等。

（2）证明角相等或互补：利用向量的数量积求出夹角的余弦值，

从而判断角的大小关系。

2、在物理中的应用

（1）力的合成与分解：力是向量，利用向量的加法和减法法则进

行力的合成与分解。

（2）速度的合成与分解：速度也是向量，遵循向量的运算法则。

3、在实际生活中的应用

平面向量在导航、工程、计算机图形学等领域都有广泛的应用。

总之，平面向量是数学中的重要概念，它不仅在数学中有广泛的应

用，还与其他学科和实际生活密切相关。熟练掌握平面向量的相关知

识，对于解决各种问题都具有重要的意义。