3.3.2 空间向量的坐标表示 讲义——2022-2023学年高二上学期数学沪教版(2020)选择性必修第一册.docx

学生版

第3章空间向量及其应用

3.3空间向量的坐标表示

3.3.2空间向量的坐标表示

本章将要学习的空间向量是从几何直观角度讲述向量的最高境界；空间向量知识是平面向量知识的延伸与拓展，从概念理解到问题解决，或可直接化归到平面向量，或可对平面向量的理论进行类比与提升；

因此，本章的学习，特别要帮助学生在复习平面向量的基础上，理解空间向量的概念、运算、基本定理和应用，体会平面向量和空间向量理论上的一脉相承，掌握它们的共性和差异；特别注意，向量理论“可把有关的几何问题简便地转化为相应代数问题来处理”；在“平面向量”一章，由于只能处理平面上的问题，学生对向量这一化几何问题为代数问题的神奇功能和强大威力可能体会还不深刻；

本章中，向量将为处理立体几何问题展现新视角，把许多三维空间中的逻辑推理和度量问题归结到向量的计算，使向量方法成为研究几何问题的有效工具；因此，本章学习的另一个要求是，使学生能运用空间向量方法研究空间基本图形的位置关系和度量问题，体会向量方法和纯几何方法在研究立体几何问题中的共性与差异，进一步发展空间想象能力和几何直观能力；

【学习目标】

学习目标

学科素养

1、掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或垂直；（重点）

2、掌握空间向量的模，夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些公式解决简单几何体中的问题；（重点、难点0

1、逻辑推理：空间向量的直角坐标运算；

2、数学运算：空间向量的直角坐标运算；

3、直观想象：空间向量的直角坐标运算；

【自主学习】

问题导学：预习教材P103－P105的内容，思考以下问题：

1、类比平面向量的坐标表示与运算；2、空间向量的表示与运算及其应用；

【知识梳理】

1、空间中向量的坐标

一般地，如果空间向量的基底{，，}中，，，3都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为基底，在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，

而且，如果＝x＋y＋z，则称有序实数组为向量p的坐标，记作＝．其中x，y，z都称为p的坐标分量．

2、位置向量

给定任意一个向量．我们先通过平移把的起点放到坐标原点，这时得到的向量称为的位置向量；设的终点坐标是，则直接记：，并称向量的这种表示法为它的坐标表示；

3、空间向量的运算与坐标的关系

假设空间中两个向量，满足＝，＝，则有以下结论：

（1）＝；

（2）＝；

（3）＝；

任意两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离＝eq\r(?x2－x1?2＋?y2－y1?2＋?z2－z1?2)

（4）；

（5）当且时，＝eq\f(x1x2＋y1y2＋z1z2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)＋z\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)＋z\o\al(2,2)))；

（6）非零向量，，?x1x2＋y1y2＋z1z2＝0；

（7）当时，?存在，满足(x2，y2，z2)＝λ(x1，y1，z1)?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝λx1,y2＝λy1,z2＝λz1))，

当的每一个坐标分量都不为零时，有eq\f(x2,x1)＝eq\f(y2,y1)＝eq\f(z2,z1)；

【注意】遇零向量，进行检验；

【思考】

1、若＝x＋＋z，则的坐标一定是(x，y，z)吗？

【解析】

2、若向量eq\o(AB,\s\up7(→))＝(x，y，z)，则点B的坐标一定是(x，y，z)吗？

【解析】

3、空间向量的平行与垂直与平面向量的平行与垂直有什么关系？

【解析】

4、空间中三点共线的充要条件是什么？

【解析】

【自我尝试】

1、判断下列命题的真假（正确的打“√”，错误的打“×”）

①以原点为始点的向量eq\o(OP,\s\up7(→))的坐标和点P的坐标相同；（）

②若，则；（）

③若＝(a1，a2，a3)，＝(b1，b2，b3)，，则eq\f(a1,b1)＝eq\f(a2,b2)＝eq\f(a3,b3)；（）

④四边形ABCD是平行四边形，则向量eq\o(AB,\s\up8(→))与eq\o(DC,\s\up8(→))的坐标相同；（）

⑤若＝(a1，a2，a3)，＝(b1，b2，b3)，则?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；（）

【提示】；

【答案】；

【解析】

【说明】本题主要考查了空间向量的坐标表示与灵活运用坐标表示进行运算；

2、若点A(0，1，2)，B(1，0，1)，则eq\o(AB,\s\up8(→))＝__________，|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝________.

3、已知向量＝(3