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上海市黄埔区2024-2025学年下学期高三数学试题期末教学质量检测试题
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.执行如图的程序框图,若输出的结果,则输入的值为()
A. B.
C.3或 D.或
2.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,则这个几何体的体积为()
A. B. C. D.
3.如图,在直三棱柱中,,,点分别是线段的中点,,分别记二面角,,的平面角为,则下列结论正确的是()
A. B. C. D.
4.某人用随机模拟的方法估计无理数的值,做法如下:首先在平面直角坐标系中,过点作轴的垂线与曲线相交于点,过作轴的垂线与轴相交于点(如图),然后向矩形内投入粒豆子,并统计出这些豆子在曲线上方的有粒,则无理数的估计值是()
A. B. C. D.
5.下图为一个正四面体的侧面展开图,为的中点,则在原正四面体中,直线与直线所成角的余弦值为()
A. B.
C. D.
6.已知集合A={x|y=lg(4﹣x2)},B={y|y=3x,x>0}时,A∩B=()
A.{x|x>﹣2}B.{x|1<x<2}C.{x|1≤x≤2}D.?
7.已知复数,则的虚部为()
A. B. C. D.1
8.复数为纯虚数,则()
A.i B.﹣2i C.2i D.﹣i
9.已知是边长为1的等边三角形,点,分别是边,的中点,连接并延长到点,使得,则的值为()
A. B. C. D.
10.已知函数.下列命题:①函数的图象关于原点对称;②函数是周期函数;③当时,函数取最大值;④函数的图象与函数的图象没有公共点,其中正确命题的序号是()
A.①④ B.②③ C.①③④ D.①②④
11.函数(或)的图象大致是()
A. B. C. D.
12.若关于的不等式有正整数解,则实数的最小值为()
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.在四棱锥中,是边长为的正三角形,为矩形,,.若四棱锥的顶点均在球的球面上,则球的表面积为_____.
14.在中,、的坐标分别为,,且满足,为坐标原点,若点的坐标为,则的取值范围为__________.
15.已知以x±2y=0为渐近线的双曲线经过点,则该双曲线的标准方程为________.
16.如图,某地一天从时的温度变化曲线近似满足函数,则这段曲线的函数解析式为______________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知椭圆与x轴负半轴交于,离心率.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线与椭圆C交于两点,连接AM,AN并延长交直线x=4于两点,若,直线MN是否恒过定点,如果是,请求出定点坐标,如果不是,请说明理由.
18.(12分)健身馆某项目收费标准为每次60元,现推出会员优惠活动:具体收费标准如下:
现随机抽取了100为会员统计它们的消费次数,得到数据如下:
假设该项目的成本为每次30元,根据给出的数据回答下列问题:
(1)估计1位会员至少消费两次的概率
(2)某会员消费4次,求这4次消费获得的平均利润;
(3)假设每个会员每星期最多消费4次,以事件发生的频率作为相应事件的概率,从会员中随机抽取两位,记从这两位会员的消费获得的平均利润之差的绝对值为,求的分布列及数学期望
19.(12分)在平面直角坐标系中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线:.过点的直线:(为参数)与曲线相交于,两点.
(1)求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;
(2)若,求实数的值.
20.(12分)设函数.
(1)时,求的单调区间;
(2)当时,设的最小值为,若恒成立,求实数t的取值范围.
21.(12分)在四棱柱中,底面为正方形,,平面.
(1)证明:平面;
(2)若,求二面角的余弦值.
22.(10分)在平面直角坐标系xOy中,曲线的参数方程为(,为参数),在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线是圆心在极轴上,且经过极点的圆.已知曲线上的点M对应的参数,射线与曲线交于点.
(1)求曲线,的直角坐标方程;
(2)若点A,B
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