2.2.3 直线的一般式方程（学案）-2022-2023学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）.docx

2.2.3直线的一般式方程

【学习目标】

课程标准

学科素养

1.掌握直线的一般式方程(重点).

2.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线.

3.会进行直线方程的五种形式之间的转化(重、难点)．

1、直观想象

2、数学运算

3、数形结合

【自主学习】

一．直线的一般式方程

1.定义：关于x，y的二元一次方程(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．

2.适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示．

3.系数的几何意义：

①当B≠0时，则－eq\f(A,B)＝k(斜率)，－eq\f(C,B)＝b(y轴上的截距)；

②当B＝0，A≠0时，则－eq\f(C,A)＝a(x轴上的截距)，此时不存在斜率．

思考1：平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？

思考2：当A＝0或B＝0或C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0分别表示什么样的直线？

二．直线各种形式方程的互化

【小试牛刀】

思辨解析(对的打“√”，错的打“×”).

(1)二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)可表示平面内的任何一条直线．()

(2)当C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)表示的直线过原点．()

(3)当B＝0，A≠0时，方程Ax＋By＋C＝0表示的直线与y轴平行．()

(4)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化．()

(5)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A·B≠0.()

【经典例题】

题型一直线的一般式方程与其他形式转化

点拨：对于直线方程的一般式，一般做如下约定：一般按含x项、含y项、常数项顺序排列；x项的系数为正；x，y的系数和常数项一般不出现分数；无特殊要求时，求直线方程的结果写成一般式．

例1根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．

(1)斜率是eq\r(3)，且经过点A(5,3)；

(2)斜率为4，在y轴上的截距为－2；

(3)经过A(－1,5)，B(2，－1)两点；

(4)在x轴、y轴上的截距分别是－3，－1．

【跟踪训练】1直线eq\r(3)x－5y＋9＝0在x轴上的截距等于()

A.eq\r(3) B．－5 C.eq\f(9,5) D．－3eq\r(3)

题型二含参数的直线的一般式方程

点拨：含参数的一般式的处理方法

1.若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不同时为0.

2.令x＝0可得在y轴上的截距；令y＝0可得在x轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式．

3.解分式方程要注意验根．

例2(1)若方程(m2＋5m＋6)x＋(m2＋3m)y＋1＝0表示一条直线，则实数m满足________．

(2)已知方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1表示直线．当m＝____________时，直线的倾斜角为45°；当m＝____________时，直线在x轴上的截距为1.

【跟踪训练】2若直线(m＋2)x＋(m2－2m－3)y＝2m在x轴上的截距为3，则实数m的值

为()

A．eq\f(6,5)B．－6C．－eq\f(6,5)D．6

题型三利用一般式解决直线平行与垂直问题

点拨：1.已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.

(1)l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0.

(2)l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.

2.与已知直线平行和垂直的直线方程的求法

(1)与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)平行的直线的方程可设为Ax＋By＋m＝0(m≠0).

(2)与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)垂直的直线的方程可设为Bx－Ay＋n＝0.

例3(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求实数m的值；

(2)已知直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0垂直，求实数a的值．

【跟踪训练】3已知A(2,2)和直线l：3x＋4y－20＝0.求：

(1)过点A和直线l平行的直线方程；

(2)过点A和直线l垂直的直线方程．

【当堂达标】

1.（多选）关于直线l：eq\r(3)x－y－1＝0，下列说法正确的有()

A．过点(eq\r(3)，－2) B．斜率为eq\r(3)

C．倾斜角为60° D．在y轴上的截距为1

2.若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为()

A．A≠0 B．B≠0 C．A·B≠0