2024-2025学年上海七宝中学高三上学期数学周测及答案（2024.09）.docx

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七宝中学2024学年第一学期高三年级数学开学考

2024.09

一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）

1．函数的最小正周期为________．

2．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（i为虚数单位）的值为________．

3．已知集合，，且，则实数的取值范围是________．

4．某校老年、中年和青年教师的人数如表所示，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有32人，则该样本的老年教师人数为________．

类别

老年教师

中年教师

青年教师

合计

人数

36

72

64

172

5．已知，，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为________．

6．设圆锥的轴截面是一个边长为4的正三角形，则该圆锥的体积为________．

7．在中，，则________．（结果用反三角函数值表示）

8．若，且，则________．

9．对于正数、，称是、的算术平均值，并称是、的几何平均值．设，，若、的算术平均值是1，则、的几何平均值（是自然对数的底数）的最小值是________．

10．已知是以2为周期的偶函数，当时，的解析式为，那么在区间内，关于的方程有4个根，则的取值范围

是________．

11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，，若与的一条渐近线垂直，垂足为，且，其中为坐标原点，则双曲线的标准方程为________．

12．已知，，，．存在，，对于任意实数，，不等式恒成立，则实数的取值范围是________．

二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13，14题每题4分，第15，16每题5分）．

13．设、均为非零实数且，则下列结论中正确的是（）

A． B． C． D．

14．已知事件与事件是互斥事件，则（）

A． B．

C． D．

15．设正四棱柱的底面边长为1，高为2，平面经过顶点，且与棱、、所在直线所成的角都相等，则满足条件的平面共有（）个

A．1 B．2 C．3 D．4

16．已知是等差数列，，存在正整数，使得，，．若集合中只含有4个元素，则的可能取值有（）个

A．2 B．3 C．4 D．5

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）．

17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题分8分

如图，四棱锥的底面是菱形，与交于点，底面，点为中点，，，．

（1）求异面直线与所成角；

（2）求平面与平面所成锐二面角．

18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分

某企业2022年年初有资金5千万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到50%，每年年底扣除下一年的消费基金1.5千万元后，剩余资金投入再生产。设从2022年的年底起，每年年底企业扣除消费基金后的剩余资金依次为，，，…

（1）写出，，，并证明数列是等比数列；

（2）至少到哪一年的年底，企业的剩余资金会超过21千万元？

19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分

某校举办了“我爱古诗词”对抗赛，在每轮对抗赛中，高二年级胜高三年级的率为，高一年级胜高三年级的概率为，且每轮对抗赛的成绩互不影响．

（1）若高二年级与高三年级进行4轮对抗赛，求高三年级在对抗赛中至少有3轮胜出的概率；

（2）若高一年级与高三年级进行对抗，高一年级胜2轮就停止，但对抗不超过5轮，求对抗赛轮数的分布列与期望．

20．（本题满分18分）本共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分

已知椭圆的右焦点为，且经过点，设为原点，直线与椭圆交于两个不同点，，

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与轴交于点，直线与轴交于点，且，求证：直线经过定点；

（3）若，求面积的最大值，并求此时直线的方程．

21．（本题满分18分）本共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分

已知函数，

（1）若的一个极值点为2，求实数的值；

（2）若，方程恰有两个解且，求的值；

（3）若，函数的图象上存在四个点，在处的切线为，且围成的图形是正方形，求实数的值.

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参考答案

一、填空题

1.;2.;3.;4.18;5.;6.;7.;8.;9.;10.