山东省济南市莱芜第一中学2024-2025学年高二上学期第一次阶段性测数学试题.docxVIP

64级高二上学期第一次阶段性检测

数学试题

出题人：张盛荣毕京冉审题人：李喜翠房增军

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知点关于轴的对称点为，则等于（）

A. B. C.2 D.

2.直线：的一个方向向量为（）

A. B. C. D.

3.在空间四边形中，，分别为，的中点，则（）

A. B. C. D.

4.已知点，，，若，，三点共线，则，的值分别是（）

A.，3 B.，2 C.1，3 D.，2

5.“”是“直线与直线垂直”的（）

A.充要条件 B.必要不充分条件

C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

6.在所有棱长均为2的平行六面体中，，则的长为（）

A. B. C. D.6

7.数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为（）

A. B.

C. D.

8.已知一对不共线的向量，的夹角为，定义为一个向量，其模长为，其方向同时与向量，垂直（如图1所示）.在平行六面体中（如图2所示），下列结论错误的是（）

图1 图2

A.

B.当时，

C.若，，则

D.平行六面体的体积

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知直线：，，，则下列结论正确的是（）

A.直线恒过定点 B.当时，直线的倾斜角为

C.当时，直线的斜率不存在 D.当时，直线与直线垂直

10.已知向量，，则下列结论正确的是（）

A.若，则 B.若，则

C.的最小值为 D.的最大值为4

11.已知四面体满足，，则（）

A.直线与所成的角为

B.直线与所成的角为

C.点为直线上的动点，到距离的最小值为

D.二面角平面角的余弦值为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.在正方体中，点是上底面的中心，若，则实数______.

13.已知，设直线：，：，若，则______.

14.在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子，分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记，当的长最小时，平面与平面夹角的正弦值为______

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（13分）菱形的顶点，的坐标分别为，，边所在直线过点.

（1）求，边所在直线的方程；

（2）求对角线所在直线的方程.

16.（15分）如图，在正四棱柱中，，，，分别为，的中点.

（1）证明：平面.

（2）求与平面所成角的正弦值.

17.（15分）已知直线：.

（1）求证：直线经过一个定点；

（2）若直线交轴的正半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程.

18.（17分）如图，直角梯形中，，，，分别为、边的中点，将沿边折起到的位置，为边的中点.

（1）证明：平面；

（2）当三棱锥的体积为，且二面角为锐二面角时，求平面与平面夹角的正切值.

19.（17分）如图，在三棱台中，，，为的中点，二面角的大小为.

（1）求证：；

（2）若，求三棱台的体积；

（3）若到平面的距离为，求的值.

64级高二上学期第一次阶段性检测

数学试题答案

一、单选题：

1

2

3

4

5

6

7

8

D

B

C

D

C

B

A

C

二、多选题：

9BD 10AC 11BCD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.2 13.1 14.

四、解答题：

15.（13分）【解析】（1）由菱形的性质可知，则

所以边所在直线的方程为，即；

边所在直线的方程为，即.

（2）线段的中点为，，

由菱形的几何性质可知，且为的中点，则，

所以对角线所在直线的方程为，即.

16.（15分）【解析】（1）在正四棱柱中，，，两两垂直，且，，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，.

因为，分别为，的中点，所以，

则，，，

设平面的法向量为则，

令，则有，，即，

因为，所以，

又平面，所以平面；

（2）由（1）可知，，

所以与平面所成角的正弦值为.

17.（15分）【解析】（1）直线：，

化为，

当时，对任意实数，恒有，

所以直线过定点.

（2）依题意，显然，直线：交轴于点，交轴于点，

而点，分别在，轴的正半轴上，即，，于是，

则的面积为

当且仅当，即时取等号，

所以当时，，

此时直线的方程为