专题13 导数运算法则在抽象函数中的应用（学生版） -2025年高考数学压轴大题必杀技系列导数.pdf

专题13导数运算法则在抽象函数中的应用

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导数与不等式都是高考中的重点与难点与抽象函数有关的导数问题更是一个难点求解此类问题的关键是

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根据导数的运算法则构造合适的函数再利用导数的运算法则确定所构造函数的性质最后再利用函数性质

求解.

(一)抽象函数的奇偶性及应用

若f-x=fx两边求导得-f¢-x=f¢x，即f¢-x=-f¢x，即若可导函数fx是偶函数，则f¢x

是奇函数，同理可得：若可导函数fx是奇函数，则f¢x是偶函数.

12024的函数y=fx，其图象是连续的曲线，且存在

【例】（届上海市奉贤区高三二模）已知定义域为R

Ry=f¢x.

定义域也为的导函数

(1)求函数fx=ex+e-x在点0,f0的切线方程；

(2)fx=acosx+bsinxabkx

已知，当与满足什么条件时，存在非零实数，对任意的实数使得

f-x=-kf¢x恒成立？

¢¢

(3)y=f(x)fx+f2-x=3.fx+2=f2-xx

若函数是奇函数，且满足试判断对任意的实数是否恒

成立，请说明理由.

1f¢(x)=ex-e-x

【解析】（）由题可知，，

所以切线的斜率为f¢(0)=0，且f(0)=2，

0,f0y-2=0x-0y=2

所以函数在点的切线方程为，即；

2f¢x=-asinx+bcosx

（）由题可知，

¢

xf-x=-kfx

又因为定义域上对任意的实数满足，

-b=ak

ì

所以acosx-bsinx=aksinx-bkcosx，即í，

a=-bk

î

当kÎR且k